Уравнение Бернулли для линии тока идеальной

Несжимаемой жидкости

Если жидкость идеальная (реальная жидкость с пренебрежимо малым трением), то величина диссипативных потерь равна нулю. Применим формулу (4.46) к бесконечно тонкой струйке тока, заключающей в себе некоторую линию тока. Это можно сделать, поскольку при получении формулы (4.46) в случае идеальной жидкости требовалось, чтобы нормальная составляющая скорости на боковой поверхности трубки тока равнялась нулю. Имеем:

.

В бесконечно тонкой струйке тока скорость распределена равномерно и в пределе, при стремлении толщины струйки тока к нулю, коэффициент Кориолиса стремится к единице. Поэтому получаем:

(4.51)

Таким образом, для линии тока установившегося течения идеальной несжимаемой жидкости величина полного напора остается постоянной:

. вдоль линии тока.

Трубка Пито-Прандтля

Уравнение Бернулли (4.51), написанное для линии тока установившегося течения несжимаемой жидкости в пренебрежении потерями напора, можно использовать для измерения местной скорости жидкости. На этом принципе устроен один из замечательнейших гидравлических приборов – трубка Пито-Прандтля (рис. 4.13). Этот прибор представляет собой тонкую Г-образно изогнутую трубку, внутри которой имеется два канала. Первый канал (центральный) одним концом открыт навстречу течению жидкости, а другой его конец соединен с правым коленом дифференциального пьезометра; второй канал (кольцевой) начинается на боковой поверхности трубки, а заканчивается в левом колене того же пьезометра. В обоих каналах жидкость неподвижна, но на входе в центральный канал набегающая жидкость тормозится концом трубки Пито-Прандтля, поэтому там давление больше, чем на входе в кольцевой канал, где течение жидкости не изменяет своей скорости. Следовательно, уровень жидкости в колене дифференциального пьезометра, которое соединено с центральным каналом, будет ниже, чем уровень жидкости в колене, соединенном с кольцевым каналом.

Рис. 4.13. Трубка Пито-Прандтля

Запишем уравнение Бернулли для двух близких линий тока, начинающихся далеко (в бесконечности ) от скругленного носа трубки. Одна из них заканчивается на скругленном носу трубки, а соседняя – проходит вблизи боковой поверхности трубки, на которой находится точка начала кольцевого канала:

Учитывая, что и , получаем:

.

Но , где разность уровней жидкости в коленах дифференциального пьезометра; плотность той жидкости, которая служит для измерения разности давлений (например, ртути). Подставляя это соотношение в последнюю формулу, получаем выражение для скорости набегающего течения:

. (4.52)

Вывод формулы (4.52) есть в «Сборнике задач по гидравлике и газодинамике для нефтегазовых вузов». Обычно в формулу (4.52) вносят поправки, учитывающие гидравлические потери, однако эти поправки малы. Саму трубку Пито-Прандтля изготавливают весьма тщательно, ее поверхность полируют, вход в кольцевой канал размещают на некотором расстоянии от скругленного конца трубки, исключающем влияние искажений линий тока. Трубку Пито-Прандтля до сих пор используют в качестве измерителя скорости самолетов, летающих с дозвуковой скоростью.