Интегральная теорема Гаусса-Остроградского

Получение дифференциальных уравнений гидромеханики из законов сохранения, записанных в интегральной форме, основано на теореме Гаусса-Остроградского.

Пусть компоненты некоторого непрерывно дифференцируемого векторного поля ; произвольная гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая объем пространства V и имеющая, внешнюю нормаль . Тогда имеет место равенство

. (5.1)

Иными словами, теорема Гаусса-Остроградского позволяет преобразовать интеграл по поверхности в интеграл по объему , ограниченному этой поверхностью.

Поскольку интеграл

называют потоком вектора через поверхность , а сумму трех частных производных

,

вычисленных в точке - дивергенцией вектора , то поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему , заключенному внутри нее.

Для бесконечно малого объема , заключающего в себе точку , справедлива формула

или

. (5.2)

Если вектор представляет скорость жидкости, то поток вектора через замкнутую поверхность имеет смысл объема жидкости, вытекающей (если ) или втекающей (если ) из объема , ограниченного этой поверхностью, в единицу времени. Рассчитанный на единицу объема пространства он имеет смысл увеличения (если ) или уменьшения (если ) объема жидкости («дивергенция» буквально означает «расхождение») в каждой точке пространства. Таким образом, понятен смысл дивергенции вектора как скорости изменения объема жидкости в данной точке пространства. В частности, для несжимаемой жидкости, суммарный объем которой внутри замкнутой поверхности неизменен, в каждой точке пространства, ограниченного этой поверхностью.

5.2. Дифференциальное уравнение неразрывности

Это уравнение выражает собой закон сохранения массы среды, и оно уже было получено в главе 1. Рассмотрим вывод это того уравнения, использующий интегральное представление.

В интегральной форме закон сохранения массы имеет вид (4.1)

или

.

Используя формулу Гаусса-Остроградского, можно записать

,

или

Поскольку объем произволен, то должно выполняться равенство

. (5.3)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением неразрывности (непрерывности) потока и представляет собой первое уравнение полной системы гидродинамических уравнений. В развернутом виде оно записывается так:

. (5.4)

Таким образом, четыре функции координат и времени , , ), удовлетворяют этому уравнению с частными производными.

Для несжимаемой жидкости плотность у каждой частицы не изменяется. Поэтому полная производная по времени от равна нулю

.

Преобразуя уравнение неразрывности (5.4), получаем:

.

Первый член в левой части этого уравнения представляет собой полную производную по времени от плотности (см. 1.8)

равную нулю. Поэтому имеем

, (5.5)

т.е. для несжимаемой жидкости дивергенция вектора скорости тождественно равна нулю: .