Характеристики индивидуального объема

УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ

В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ

 

Применение основных теорем механики системы

Материальных точек к подвижному объему жидкости.

 

Рассмотрим подвижный объем жидкости, ограниченный замкнутой поверхностью . С течением времени частицы жидкости, составляющие этот объем, перемещаются в пространстве, обуславливая изменение формы ограничивающей их поверхности. Подвижный объем жидкости, состоящий из одних и тех же частиц, называют индивидуальным объемом. Этот объем представляет собой тело, к которому применимы основные законы механики и термодинамики.

 

Интегральные характеристики индивидуального

Объема жидкости

 

На рис. 4.1 изображен индивидуальный объем жидкости, ограниченный замкнутой поверхностью .

 

 

Рис. 4.1.Подвижный (индивидуальный) объем жидкости

 

Если обозначить элементарный объем пространства, занятого жидкостью, то его масса, количество движения, момент количества движения; кинетическая энергия, полная энергия, внутренняя энергия. Интегральные характеристики системы частиц жидкости, составляющих индивидуальный объем , определятся выражениями:

- масса объема;

- количество движения объема;

- момент количества движения объема;

- кинетическая энергия объема;

- внутренняя энергия объема;

- полная энергия объема.

Основные теоремы механики и термодинамики системы материальных точек могут быть представлены следующими равенствами.

а) Закон сохранения массы:

 

; (4.1)

 

б) Закон изменения количества движения:

 

, (4.2)

 

где — сумма всех внешних сил, приложенных к частицам подвижного объема , как массовых, так и поверхностных;

в) Закон изменения момента количества движения:

 

, (4.3)

 

где радиус-вектор рассматрвамой точки объема; сумма моментов всех внешних сил, действующих на частицы жидкости в рассматриваемом объеме.

г) Закон изменения кинетической энергии (теорема «живых сил»):

 

, (4.4)

 

где и — суммы мощностей всех внешних и внутренних сил, приложенных к точкам рассматриваемого объема.

д) Закон изменения полной энергии (первый закон термодинамики)

 

, (4.5)

 

где приток внешней энергии в виде тепла; мощность всех внешних сил.

Эти законы справедливы не только для жидкости, но и вообще для любой сплошной среды. В общем виде соотношения (4.1) - (4.5) можно записать посредством уравнения

 

, (4.6)

 

в котором параметр может обозначать любую величину , , или , a обозначает правые части этих уравнений.

 

Полная производная по времени от интегральной

характеристики индивидуального объема

 

Рассмотрим положение объема, состоящего из одних и тех же частиц, в два последовательных момента времени t и (рис.4.2). По определению полной производной можно записать

 

(4.7)

 

где объем пространства, занимаемый рассматриваемыми частицами в момент времени .

 

 

Рис. 4.2. Положение индивидуального объема жидкости в два последующие момента времени

 

Пусть объем общей части и , —объем части пространства вновь занятого частицами подвижного объема ( часть поверхности , через которую частицы выходят), объем части пространства, освобожденного частицами, подвижного объема ( часть поверхности S, через которую частицы входят). Тогда каждый из интегралов по объемам и в равенстве (4.7) можно разбить на две части

 

,

 

.

 

Подставляя это разбиение в формулу (4.7), получаем:

 

. (4.8)

 

Первое слагаемое в правой части (4.8) равно интегралу от частной производной по времени величины :

 

. (4.9)

 

Второе и третье слагаемые можно преобразовать в интегралы по поверхности, ограничивающей подвижный объем.

 

(4.10)

 

где значения параметра в точках поверхности . Здесь было использовано представление элементарного объема в бесконечно тонком слое вокруг поверхностей и виде объема цилиндра с площадью основания (элемент поверхности) и образующей ( проекция вектора скорости частиц на нормаль к поверхности), (рис. 4.3).

 

 

Рис. 4.3.Вычисление элементарного объема в точках

поверхности индивидуального объема

 

Подставляя (4.10) в (4.8) и переходя к пределу при , получаем:

 

 

. (4.11)

 

Здесь учтено, что для непрерывной функции имеет место равенство .

 

Контрольная поверхность

 

Физический смысл формулы (4.11) особенно ясно выявляется при использовании понятия контрольная поверхность. Контрольная поверхность - это неподвижная в пространстве поверхность, с которой в некоторый момент времени совпадает поверхность рассматриваемого подвижного объема. Поскольку контрольная поверхность и ограничиваемый ею объем части пространства неподвижны, то интеграл

 

 

представляет собой скорость изменения величины А в данном объеме пространства, а поверхностный интеграл

 

 

дает скорость изменения параметра А за счет его «потока» через контрольную поверхность.

Таким образом, полная производная по времени от некоторой интегральной характеристики подвижного объема равна частной производной по времени от этой характеристики, вычисленной для неподвижного контрольного объема, с которым подвижный объем совпадает в данный момент, плюс поток количества А через поверхность контрольного объема.

Если течение жидкости - установившееся, то во всех точках пространства

 

,

 

следовательно, для установившегося движения имеет место соотношение

 

. (4.12)

 

Это равенство означает, что при установившемся течении жидкости изменение любой интегральной характеристики подвижного объема равно потоку этой характеристики через контрольную поверхность.

Отметим, что основные теоремы механики системы материальных точек можно применять к любому подвижному объему среды, поэтому в формуле (4.10) объем и поверхность, его ограничивающая, произвольны.