Закон сохранения массы

Положим, что параметр А обозначает плотность жидкости, т.е. , тогда, согласно (4.1), имеем:

Используя формулу (4.11), получаем:

. (4.13)

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости в интегральной форме.

Пусть поверхность S состоит из трех частей: , через которую жидкость втекает в контрольный объем; , через которую жидкость вытекает из контрольного объема; и - поверхности твердых тел, непроницаемой для жидкости (рис. 4.4).

Рис. 4.4.Баланс массы жидкости в канале сложной формы

Будем считать, что на поверхности единичный вектор нормали направлен внутрь объема жидкости, а на поверхностях и - во внешность этого объема. Тогда равенство (4.13) примет вид:

или

. (4.14)

Закон сохранения массы в форме (4.14) можно сформулировать следующим образом: масса жидкости, вошедшей в контрольную поверхность в единицу времени, минус масса жидкости, вышедшей через контрольную поверхность в единицу времени, равна изменению массы жидкости внутри контрольного объема в единицу времени.

В частности, для установившегося течения жидкости уравнение (4.14) упрощается:

.

Если жидкость течет в неподвижной трубке тока, то контрольную поверхность можно считать состоящей из трех частей: двух сечений и , через которые жидкость соответственно втекает и вытекает в контрольную поверхность и непроницаемой боковой поверхности , на которой (рис.4.5).

Рис. 4.5.Баланс массы жидкости в трубке тока

В этом случае общее уравнение (4.14) имеет особенно простой вид:

. (4.15)

Величину

называют массовым расходом жидкости. Формула (4.15) показывает, что массовый расход жидкости при установившемся течении постоянен вдоль трубки тока и не зависит от формы ее сечения.

Если воспользоваться определением средней по сечению скорости жидкости и понянием средней по сечению плотности жидкости, которые удволетворяют уравнению

то последнее равенство можно представить в виде

. (4.16)

Если плотность жидкости не изменяется между сечениями и , то формула (4.16) упрощается:

. (4.17)

В частности, для таких слабосжимаемых жидкостей, какими являются вода, нефть, нефтепродукты, и которые движутся в условиях изотермического режима, предположение о неизменности плотности выполняется достаточно точно. Если же речь идет о течении этих жидкостей в трубопроводе с постоянным диаметром, , то из равенства (4.16) следует , т.е. скорость таких жидкостей не изменяется по длине трубопровода.

Формула (4.17) показывает, что произведение скорости жидкости на площадь поперечного сечения трубы есть постоянная величина, поэтому там, где сечение уменьшается, средняя скорость жидкости увеличивается, и, наоборот, там, где сечение расширяется, средняя скорость жидкости уменьшается.

Формула (4.17) дает также возможность экспериментальным путем определять среднюю скорость жидкости в трубе. Если замерить объем жидкости , прошедшей через сечение трубы за определенное время , то расход и средняя скорость жидкости в этом сечении рассчитываются по формулам

. (4.18)