Задача Дирихле для уравнения Пуассона и ее решение методом Монте-Карло с использованием метода сеток

В ограниченной связной области  плоскости с простой границей  рассмотрим дифференциальной уравнение с частными производными

                                                               (1)

где  – искомая функция. Уравнение (1) при  называется уравнением Лапласа, а при  – уравнением Пуассона.

Применяя метод сеток для решения краевых задач, прежде всего появляется задача замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями. Аппроксимации дифференциального уравнения разностным заключается в том, что производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются линейными комбинациями значений функции  в узлах сетки по тем или иным формулам численного дифференцирования. В зависимости от того, какими формулами численного дифференцирования будем пользоваться, получим различную точность аппроксимации дифференциального уравнения разностным.

Предположим, что на границе  задана некоторая функция (часто пишут g( S), где  — длина дуги границы, отсчитываемая от какой-нибудь фиксирован­ной точки). Требуется найти такое решение  уравнения (1), которое на границе совпадает с :

     . (2)

Задачу об отыскании ре­шения уравнения

(3)                                   

удовлетворяющего гра­ничному условию, на­зывают задачей Дирихле для уравнения Пуассона.
     Для приближенного решения этой задачи выбирают на плоско­сти достаточно мелкую квадратную сетку  с шагом  (рис.1, Приложение А). Координаты узлов этой сетки пусть будут , а значения для краткости обозначим  и . Узел  называют внутренним, если и он, и все четыре соседних с ним узла  принад­лежат , в противном случае узел , принадле­жащей  называют граничным.

Во внутреннем узле  уравнение заменим разностным

                                     (4)

которое перепишем в виде

           (5)

В граничных узлах 

                  .                   (6)

Решение алгебраической системы при  приближается к решению задачи Дирихле для уравнения (1).

Перенумеруем все узлы, принадлежащие (в произвольном порядке), и перепишем в том же порядке уравнения (3), (4). Тогда получим систему вида

                                                              (7)

Матрица этой системы имеет следующую структуру: внутреннему узлу с номером  отвечает строка , в котором четыре элемента равны ¼, а остальные – нули; граничному узлу с номером  отвечает строка ; все диагональные элементы =0. (Все собственные значения такой матрицы по абсолютной величине меньше единицы.) Свободные члены этой системы , если узел  внутренний, и , если узел  граничный.

Один из методов решения системы (5) является метод Монте-Карло. Построим данный метод для расчета  - значения решения в одном заранее заданном узле. Выберем матрицу переходов

Здесь – символ Кронекера: .

Далее строим следующую цепь:

1)

2) если узел  внутренний, то с одинаковой вероятностью ¼ выбираем в качестве  номер одного из соседних с ним узлов;

3) если узел  граничный, то цепь останавливается: . Рассчитываем вес вдоль цепи по правилу: пока цепь не попала на границу, далее . Вычисляем случайную величину по формуле

                             ,                                (8)  

где – номер первого выхода цепи на границу.

В формуле (6) все  вычисляются по формуле  и лишь последнее равно значению .

Замечание. Если вместо граничных условий (2) заданы более сложные условия, например:

,

то уравнения (6) наряду с  будут содержать также значения в некоторых узлах. И случайная цепь, попав на границу, останавливаться не будет.

Если количество цепей достаточно велико, то решение задачи Дирихле в узле определяется по формуле

                                   .                                  (9)