Понятие о решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом Монте-Карло

Пусть на плоскости дана область  с кусочно-гладкой границей . В области  построим квадратную сетку с шагом :

                            ,  (1)

Мы предполагаем, что сетка  состоит из внутренних узлов и граничных узлов первого рода. Граничные узлы сетки  образуют ее границу . Грубо говоря, граница  представляет собой линейный ряд точек , аппроксимирующий криво-криволинейную границу  области  с точностью до .

Представим себе частицу , которая совершает равномерное случайное блуждание по узлам сетки (1). А именно, находясь во внутреннем узле  сетки , эта частица за один переход с одной и той же вероятностью, равной 1/4, может переместиться в один из четырех соседних узлов: или в  (шаг влево), или в  (шаг вправо), или в  (шаг вниз), или в  (шаг вверх), причем каждый такой единичный переход совершенно случаен и не зависит от положения частицы и ее прошлой истории. Будем считать, что блуждание частицы  заканчивается, как только эта частица попадет на границу ; в этом смысле граница  представляет собой «поглощающий экран». Можно доказать, что с вероятностью, равной 1, блуждание точки через конечное число шагов заканчивается на границе.

Если частица  начала свое блуждание с фиксированной внутренней точки  сетки , то конечная совокупность последовательных положений этой частицы:  где  и , называется траекторией частицы (с  шагами) или историей блуждания.

Равномерное случайное блуждание частицы на плоскости можно организовать с помощью равномерно распределенной последовательности одноразрядных случайных чисел, принимающих значения . Для этого, например, достаточно производить розыгрыш, т. е. случайную выборку из чисел , придерживаясь инструкции, указанной в таблице 1 (Приложение B); причем числа 8 и 9 переигрываются.

Случайные числа берутся из готовых таблиц или вырабатываются электронной машиной. Последний способ при работе на счетной машине предпочтительнее, так как он позволяет не загружать сильно память машины.

Пусть в точках границы Г области G определена некоторая функция . Перенесем эти значения на границу сетки . Например, для каждого граничного узла  определим ближайшую по горизонтали (или вертикали) точку  и положим

                                                               .

Для краткости введем обозначение

                                                               .

Пусть  –  вероятность того, что траектория частицы, вышедшей из узла сетки , закончится в граничном узле . Так как блуждание точки неизбежно заканчивается на границе  в первой же точке выхода ее на границу, то

                                                       , (2)   

где суммирование распространяется на все точки  границы , причем

                                      (3)

где  – граничный узел.

Составим сумму

                                                  , (4)

где точка  пробегает всю границу . Если функцию  рассматривать как случайную величину, принимающую значения  на границе , то сумма (4) представляет собой математическое ожидание (среднее значение) функции  на границе  для траекторий, начинающихся в точке  («премия за выход на границу» из начальной точки ). Частица, начавшая свое случайное блуждание из внутреннего узла , после первого шага с вероятностью, равной 1/4, попадает в один из четырех соседних узлов. Поэтому случайные блуждания, начинающиеся в узле , в зависимости от вида траекторий распадаются на четыре категории новых случайных блужданий:

По формуле полной вероятности имеем

     (5)

Отсюда, умножая обе части равенства (5) на граничные значения  и суммируя по всем возможным значениям  и , на основании формулы (4) получим

                                     .      (6)

Кроме того, в силу формулы (3) имеем

                                                              ,      (7)

если точка .

Рассмотрим теперь задачу Дирихле об отыскании функции , гармонической области  и принимающей на ее границе  заданные непрерывные значения . Согласно методу сеток  эта задача сводится к нахождению значений  искомой функции  во внутренних узлах  некоторой сетки  при условии, что значения в граничных узлах  известны и равны . Неизвестные  определяются из системы линейных уравнений

                                        (8)

Сравнивая формулы (8) с формулами (6), (7), мы усматриваем, что они совпадают с точностью до обозначений. Следовательно, искомые неизвестные  можно рассматривать как математические ожидания . Величины  допускают экспериментальное определение. Рассмотрим достаточно большое число  равномерных случайных блужданий частицы по узлам сетки , исходящих из фиксированного узла  и заканчивающихся на границе . Пусть  соответствующие точки выхода частицы на границу . Заменяя математическое ожидание  эмпирическим математическим ожиданием, будем иметь

                                                . (9)

Формула (9) дает статистическую оценку величины  и может быть применена для приближенного решения задачи Дирихле. Метод решения задач, основанный на использовании случайных величин, получил общее название метода Монте-Карло.

Заметим, что с помощью формулы (9) можно непосредственно найти приближенное значение  решения задачи Дирихле в единственной фиксированной точке  сетки , не зная решения задачи для остальных точек сетки. Этим обстоятельством метод Монте-Карло для задачи Дирихле резко отличается от обычных стандартных способов решения этой задачи.

Интересно отметить, что вероятность , в силу формулы (4), представляет собой аналог функции Грина для задачи Дирихле в области . Эта величина может быть найдена экспериментально на основании формулы (9), если задать следующие граничные условия:

                             .

Построив такую функцию Грина, мы получаем возможность, применяя формулу (9), просто

находить приближенное решение задачи Дирихле для области  данной границей  при любых граничных значениях .

Недостатком рассмотренного варианта метода Монте-Карло для задачи Дирихле является слабая сходимость по вероятности при  эмпирического математического ожидания

к математическому ожиданию . Чтобы устранить это неблагоприятное обстоятельство, используют различные модификации случайных блужданий. Кроме того, при решении задачи полезно учитывать также, что блуждание частицы , начинающееся в точке

автоматически является случайным блужданием частицы, начинающимся в любой промежуточной точке траектории этой частицы.