Метод «блуждания» по сферам

Укажем другой метод Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, не связанный с разностными уравнениями. Пусть задана ограниченная связная область  и точка . Определим случайную траекторию  следующим образом: положим ; далее, если точка  известна, то построим окружность произвольного радиуса , расположенную внутри , и на этой окружности выберем случайную точку  (рис. 2, Приложение C).

Таким образом, , где , и угол  равномерно распределен в интервале .

Приведем теорему: если функция удовлетворяет в области уравнению Лапласа

                                                      ,          (1)

то при каждом и при любых математическое ожидание  равно значению  в начале траектории.

Доказательство. Придадим более точный смысл утверждению о произвольности радиуса . Будем считать, что задана некоторая плоскость , которая тождественно равна нулю при всех , превосходящих минимальное расстояние от  до границы , а также при ; случай  также допускается; и выбор  осуществляется в соответствии с плотностью . Пусть  – плотность распределения точки  в . Тогда математическое ожидание величины  равно

                                  .

По теореме о среднем значении гармонической функции

                                                      .

Поэтому

                                           .

При  точка  и . Применяя индукцию, получим утверждение теоремы.

Построение траекторий рассмотренного типа в трехмерном случае иногда называют блужданием по сферам.

Приведенную выше траекторию можно использовать для приближенного решения задачи Дирихле. Пусть на границе  области  задана ограниченная функция . Обозначим через  искомое решение, удовлетворяющее внутри  уравнению (1) и обращающееся в  при .

Фиксируем достаточно малую окрестность  границы (рис. 3, Приложение D). Чтобы вычислить , будем строить траектории вида до тех пор, пока случайная точка  не попадет в . Пусть  – ближайшая к  точка границы . Можем считать, что значение случайной величины  приближенно равно . Построив  траекторий такого типа, получим значения , по которым оценивается искомое решение

                                                       . (2)

Замети, что сходимость по вероятности

                                                   , (3)

когда  не вытекает из теоремы Хинчина, говорящей о том, что последовательность одинаково распределенных независимых величин, у которых существуют математические ожидания, подчиняется закону больших чисел, так как в сумме (3) фигурируют  различных случайных величин, различающихся правилами выбора  Можно, однако воспользоваться другой формой закона больших чисел – теоремой Чебышева:

Если величины  независимы и существует  и , то при

(Доказательство этой теоремы легко получить, применяя к величине  неравенство Чебышева – ).

В нашем случае все , а дисперсии , где . В самом деле, как известно, максимум и минимум гармонической функции достигаются на границе области, так что  при всех .

Такой метод расчета  считается более быстрым, чем метод использования разностных уравнений, так как вдали от границы позволяет делать большие шаги . Обычно рекомендуют выбирать максимально возможные радиусы .

Данный метод был предложен Дж. Брауном и обоснован М. Мюллером, который доказал, в частности, что вероятность того, что траектория никогда не попадет в , равна нулю. Дальнейшее развитие метода – организация зависимых испытаний, решение уравнений более общего вида, использование вместо кругов других фигур (для которых известны функции Грина).