Задаче Дирихле для уравнения Лапласа

Введение

Для сложных математических моделей аналитические решения удаётся получить сравнительно редко. Поэтому среди приближённых математических методов основными методами решения задач являются численные. Эти методы позволяют добиться хорошего качественного и количественного описания исследуемого процесса или явления.

  Задача Дирихле может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области , гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения.

Цель данной работы рассмотреть решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа и уравнения Пуассона методом Монте-Карло на основе метода сеток.

Применяя метод сеток для решения краевых задач, прежде всего появляется задача замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями – заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением.

Идея метода сеток восходит еще к Эйлеру. Однако практическое использование метода наталкивалось на серьезные трудности, так как получение достаточно точного решения краевой задачи приводило к системам алгебраических уравнений, на решение которых при ручном счете требовались затраты времени. Положение резко изменилось с появлением быстродействующих электронных вычислительных машин.

Методами Монте-Карло называются численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик. В данной работе приведено два метода решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа с использованием методом Монте-Карло, и на основании одного из них приведена программа его реализующая.

Метод Монте-Карло

Общепринятого определения методов Монте-Карло пока нет. Назовем методами Монте-Карло численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик. При таком определении приходится к методам Монте-Карло причислить некоторые другие методы, как, например, стохастические приближения или случайный поиск, которые по традиции рассматриваются отдельно. Однако специалисты, занимающиеся этими вопросами, нередко сами называют свои приемы методами Монте-Карло. В то же время в определении подчеркивается что:

а) речь идет о численных методах (и конкурировать они могут с классическими численными методами, а не с аналитическими методами решения задач);

б) решать методами Монте-Карло можно любые математические задачи (а не только задачи вероятностного происхождения, связанные со случайными величинами).

Официальной датой рождения методов Монте-Карло считают 1949 год, когда появилась статья под заглавием «Метод Монте-Карло». Возникновение метода связывают обычно с именами Дж. Неймана, С. Улама, Н. Метрополиса, а также Г. Кана и Э. Ферми; все они в 40-х годах работали в Лос-Аламосе (США).

Необходимо сразу же подчеркнуть, что теоретические основы методов Монте-Карло были известны значительно раньше. Более того, фактически такие методы не раз использовались для расчетов в математической статистике. Однако до появления электронных вычислительных машин (ЭВМ) методы Монте-Карло не могли стать универсальными численными методами, ибо моделирование случайных величин вручную – весьма трудоемкий процесс.

Развитию методов Монте-Карло способствовало бурное развитие ЭВМ. Алгоритмы Монте-Карло (как правило, обладающие небольшой связностью)

сравнительно легко программируются и позволяют рассчитывать многие задачи, недоступные для классических численных методов. Так как совершенствование ЭВМ продолжается, есть все основания ожидать дальнейшего развития методов Монте-Карло и дальнейшего расширения

области их применения.

Важнейший прием построения методов Монте-Карло – сведение задачи к расчету математических ожиданий. Более подробно: для того чтобы приближенно вычислить некоторую скалярную величину а, надо придумать такую случайную величину , что ; тогда, вычислив  независимых значений  величины , можно считать, что .

Пример. Требуется оценить объем  некоторой ограниченной пространственной фигуры .

Выберем параллелепипед , содержащий , объем которого  известен. Выберем  случайных точек, равномерно распределенных в , и обозначим через  количество точек, попавших в . Если  велико,

то, очевидно, : , откуда получаем оценку

                                                               .

В этом примере случайная величина  равна , если случайная точка попадает в , и  равна нулю, если точка попадает в . Нетрудно проверить, что математическое ожидание , а среднее арифметическое

                                               .

Легко видеть, что существует бесконечно много случайных величин  таких, что . Поэтому теория методов Монте-Карло должна дать ответы на два вопроса:

1) как выбрать удобную величину  для расчета той или иной задачи;

2) как находить значения произвольной случайной величины ?

Изучение этих вопросов и должно составить основное содержание практического курса методов Монте-Карло.

Многие методы основаны на расчете математических ожиданий. Существуют методы случайного поиска (кроме простейшего) и стохастических приближений.

Среди методов Монте-Карло можно выделить методы, в которых полностью воспроизводится модель рассчитываемого процесса. Такие методы иногда называют «физическими», хотя автору представляется более удачным другое название этих методов — имитационные. Имитация естественных процессов широко используется в самых различных областях науки, техники, экономики. Однако приемы имитации в каждой области свои, и подробно излагать их более целесообразно в специальных руководствах, а не в общем курсе методов Монте-Карло.

Задаче Дирихле для уравнения Лапласа