Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

Идея метода сеток (или, иначе, метода конечных разностей) для приближенного решения краевых задач для двумерных дифференциальных уравнений заключается в следующем:

1. в плоскостной задаче , в которой разыскивается решение, строится сеточная область , состоящая из одинаковых ячеек (рис. 1, Приложение А) и приближающая данную область ;

2. заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением;

3. на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах области .

Решив полученную систему конечно-разностных уравнений, для чего, вообще говоря, нужно решить алгебраическую систему с большим числом неизвестных, мы найдем значения искомой функции в узлах сетки, т. е. будем иметь численное решение задачи.

Выбор сеточной области производится в зависимости от конкретной задачи, но во всех случаях контур  сеточной области  следует выбирать так, чтобы он возможно лучше аппроксимировал контур  заданной области .

Сеточная область может состоять из квадратных, прямоугольных, треугольных и других клеток. От выбора основного размера клетки  зависит величина остаточного члена  при замене дифференциального уравнения конечно-разностным. Следовательно, размер  теоретически должен определяться требованием, чтобы этот остаточный член был меньше погрешности, допустимой при решении. Однако такой путь не всегда целесообразен, так как получаемый при этом размере  настолько мал и, следовательно, число клеток настолько велико, что решение оказывается практически невыполнимым.

Обычно задача решается сначала при большом значении , т. е. при малом числе клеток, и лишь, после того, как задача грубо приближенно решена для этой крупной сетки или во всей рассматриваемой области, или в какой-нибудь ее части.

Идея метода сеток восходит еще к Эйлеру. Однако практическое использование этого метода наталкивалось на серьезные трудности, так как получение с его помощью достаточно точного решения краевой задачи обычно приводило к системам алгебраических уравнений, на решение которых при ручном счете требовались затраты времени. Положение резко изменилось с появлением быстродействующих электронных вычислительных машин. Метод сеток допускает удобную реализацию на электронных счетных машинах, так как его применении сводится к повторяемости однородных циклов. В настоящее время метод сеток является одним из наиболее эффективных методов решения линейных, а также нелинейных задач математической физики.

Покажем применение метода сеток для построения решения задачи Дирихле

                      при и  при , (1)

где  – заданная непрерывная функция, причем для простоты рассмотрим лишь случай квадратной сетки. Будем предполагать, что область  ограничена простым замкнутым кусочно-гладким контуром .

Выбрав шаг , построим квадратную сетку

с таким расчетом, чтобы узлы  сетки  принадлежали области , или отстояли от ее границы  на расстоянии меньшем, чем .

Точки (узлы)  называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси или оси  на расстояние, равное шагу сетки . Узел  сетки  называется внутренним, если он принадлежит области , а все четыре соседних с ним узла – множеству ; в противном случае он называется граничным (например, узлы сетки ) (рис. 1, Приложение А – внутренние узлы обозначены светлыми кружками, а граничные – темными кружками и темными треугольниками).

Граничный узел сетки  называется узлом первого рода, если он имеет соседний внутренний узел этой сетки (например, узел  – рис. 1, Приложение А); в противном случае граничный узел называется узлом второго рода (узел  – рис. 1, Приложение А). Внутренние узлы и граничные узлы первого рода сетки  называются расчетными точками. Граничные узлы второго рода не входят в вычисление и могут быть изъяты из сетки  (рис. 1, Приложение А –  граничные узлы второго рода обозначены темными треугольниками).

Относительно сетки  предположим, что множество ее расчетных точек «связное», т. е. любые две расчетные точки можно соединить цепочкой узлов, каждые два смежных элемента которой являются соседними узлами. Кроме того, будем считать многоугольную сеточную область  выбранной так, чтобы ее геометрическая граница  возможно ближе примыкала к границе  области . Заметим, что узловые точки контура  могут лежать внутри, так и вне .

Значение искомой функции  в точках  обозначим через . Для каждой внутренней точки  сетки  заменяем дифференциальное уравнение (1) конечно-разностным уравнением

                                        , (2)     

где  – расчетные точки.

В граничных узлах первого рода  сетки  полагаем

                                                      , (3)

где  – ближайшая к точка границы .

Система (2) является неоднородной линейной системой, причем число неизвестных (т. е. число внутренних узлов сетки) равно числу уравнений. Система (2) всегда совместна и имеет единственное решение. Чтобы доказать это, достаточно убедиться в том, что соответствующая однородная система, очевидно, формально может быть записана в виде системы (2), с той лишь разницей, что значение функции  на границе  следует положить тождественно равным нулю: .

Однородная система (2) всегда совместна, так как эта система имеет тривиальное решение . Покажем, что однородная система (2) не может иметь решения . Пусть, например, для некоторого решения одно из ее неизвестных . Для определенности будем считать . Обозначим через  наибольшую компоненту рассматриваемого решения, т. е. положим

                                                                (4)

для всех узлов сетки . В силу неравенства (4) будем иметь

                                                             . (5)

На основании системы (2) получаем

                                   . (6)

Учитывая неравенство (4), заключаем, что

                           .

Ни одно из последних четырех неравенств не является строгим, так как если бы это имело место, то, складывая все четыре неравенства и учитывая формулу (6), мы получили бы .

Поэтому

                                        . (7)

Проводя аналогичные рассуждения для точек  сетки  с ближайшей точкой , где положено

                                                            .

Таим образом, из цепи равенств (7) имеем , что противоречит неравенству (5).

Так, однородная система (2) не может иметь положительных решений. Аналогично доказывается, что эта система не может иметь отрицательных решений. Следовательно,  для каждого решения, и, значит, неоднородная система (2) совместна и имеет единственное решение.

Решив систему (2), получим приближенные значения искомой функции  в узлах сеточной области . Тем самым будет найдено приближенное численное решение задачи Дирихле для области . Можно показать, что в общем случае погрешность приближенного решения имеет порядок .