Основные сведения о задаче Дирихле для уравнения Лапласа

Определение. Функция , имеющая непрерывные частные второго порядка в области  и удовлетворяющая внутри  уравнению Лапласа, называется гармонической функцией:

                                                        .

Простейшим примером гармонической функции двух переменных является функция вида , где  (основное решение уравнения Лапласа).

Задача Дирихле в иных терминах может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области , гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения.

Если , то задача Дирихле удовлетворяет уравнению Пуассона Единственность решения задачи Дирихле и непрерывная запись ее от краевых условий (корректность краевой задачи) вытекают из следующих гармонических функций.

Свойcтво1 (принцип максимума). Гармоническая в ограниченной области функция, непрерывная в замкнутой области , не может принимать внутри этой области значений больших, чем максимум ее значений на границе  непрерывные заданные значения.

Доказательство. Пусть  – максимум значений  на границе . Допустим, что функция  в некоторой точке  внутри  принимает значение , причем .

Составим вспомогательную функцию

                                         ,

где  – диаметр области . Очевидно, имеем

                                                       ,

причем при  выполняется неравенство

                                                    .

Следовательно, функция  достигает своего наибольшего значения внутри области в некоторой точке , причем в этой точке будут выполнены необходимые условия для максимума функции:      

.

Из соотношения

вытекает, что по крайней мере одна из производных  или  положительна внутри . Поэтому функция ни в какой конкретной точке области  не может иметь максимума, и, следовательно, приходим к противоречию. Таким образом, .

Аналогично доказывается, что , где  – наименьшее значение функции  на границе .

Следствие. Пусть функция  – гармоническая в ограниченной области  и непрерывная в замкнутой области . В таком случае справедливо равенство

                                                                ,

где  на ,  на .

Замечание. Можно доказать более сильное утверждение, что гармоническая в ограниченной и замкнутой области  функция, отличная от константы, не принимает внутри  наибольшего и наименьшего значений.

Свойство II (единственность решения задачи Дирихле). Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области может иметь лишь единственное решение, т. е. не существует двух непрерывных гармонических функций в замкнутой ограниченной области , принимающих, на границе одни и те же значения.

Доказательство. Допустим, что две функции и  гармонические в области , совпадают всюду на ее границе. Рассмотрим функцию

                                                    .

Очевидно, что на  – гармоническая функция, обращающаяся в нуль на границе. По свойству I эта функция не может принимать внутри  значений больше или меньше нуля, следовательно,  внутри  и .

Замечание. Из свойства II не следует, что задача Дирихле для ограниченной замкнутой области  имеет решение; это свойство лишь утверждает, что если существует решение задачи Дирихле для области , то оно единственно.

Можно доказать, что если область  выпуклая, т. е. вместе с двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок, и граница ее  действительно имеет решение (теорем Неймана).

Свойство III (корректность задачи Дирихле). Решение задачи Дирихле для замкнутой и ограниченной области непрерывно зависит от граничных данных.

Доказательство. Допустим, что и  – решения задачи Дирихле, соответственно принимающее на границе значение  и .

Пусть всюду на  выполнено неравенство

                                                        ,

где  – произвольное малое положительное число.

Рассмотрим гармоническую функцию

                                                    .

На границе  эта функция принимает значение

                                                   .

Так как  на , то по свойству I имеем

                                                при ,

т. е.  или .

Таким образом, для задачи Дирихле требование корректности выполнено при .