Доказательство теоремы 2

Так как точка  принадлежит открытому множеству Г, то существуют такие положительные числа q и a, что все точки , удовлетворяющие условиям

,                                    (14)

 

лежат в множестве Г. Так как множество П, состоящее из всех точек  удовлетворяющих условиям (14), замкнуто и ограничено (рис.18), то. непрерывные функции

 

 и ,  

 

ограничены на нем, т. е. существуют такие положительные числа М и К, что

 

,                        (15)

 

на множестве П.

Наряду с множеством П рассмотрим содержащееся в нем множество  определяемое неравенствами

 

 ,

 

где

 

                                            (16)

 

(рис. 18). Обозначим через  семейство всех непрерывных векторных функций, заданных на отрезке , графики которых проходят в . Таким образом, функция , определенная на отрезке , тогда и только тогда принадлежит семейству  когда

 

Рис. 18.

 

для любого t, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство

 

                                         (17)

 

Постараемся выбрать теперь число r таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия:

а) Если функция  принадлежит семейству , то функция  (см. (10), (11)) также принадлежит семейству .

б) Существует такое число , что для любых двух функций семейства , имеет место неравенство

 

                   (18)

 

Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция  при­надлежала семейству , необходимо и достаточно, чтобы при  было выполнено неравенство:

.

 

В силу (10), (5) и (15) мы имеем:

 

.

 

Из этого видно, что при

 

                                           (19)

 

условие а) выполнено.

Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем:

 

. (20)

 

Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь неравенствами (6) и (15):

 

.                   (21)

 

Из (20) и (21) следует

 

 

Таким образом, условие б) выполнено, если

,                                              (22)

 

где .

Итак, если число r удовлетворяет неравенствам (16), (19), (22) (которые мы в дальнейшем будем считать выполненными), то  для семейства  выполнены условия а) и б).

Построим теперь последовательность векторных функций

 

,                   (23)

 

определенных на отрезке , положив

 

                              (24)

 

Так как функция  принадлежит семейству , то и все функции последовательности (23) принадлежат этому же семейству (см. условие а)). Далее, мы имеем (см. (17)):

 

 

В силу (18) получаем:

 

,

 

отсюда

 

.                                     (25)

Таким образом, в силу В) последовательность (23) равномерно сходится к некоторой непрерывной функции , принадлежащей семейству . Покажем, что функция  удовлетворяет уравнению (12). Для этого заметим, что последовательность

 

 

Равномерно сходится к функции ; действительно, мы имеем (см. (18))

 

.

 

Переходя в    соотношении (24) к приделу при , получаем:

 

.

 

Итак, существование решении  уравнения (3), удовлетворяющего начальному условию (8), доказано; при этом установлено, что решение  определено на интервале , где r – произвольное число; удовлетворяющее неравенствам (16), (19), (22).

Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть  и  - два решения уравнения (3) с общими начальными значениями  и  — интервал, являющийся пересечением интервалов существования решений  и ; очевидно, что . Покажем, что если решения  и совпадают в некоторой точке  интервала , то они совпадают и на некотором интервале , где r – достаточно малое положительное число. Положим ; тогда величины  могут быть приняты за начальные значения обоих решений  и . В этом смысле точка  ничем не отличается от точки  и потому мы сохраним за точкой обозначение ; это позволит нам сохранить и другие прежние, обозначения. Переходя от дифференциального уравнения (3) к интегральному уравнению (9), мы получаем для обеих функций  и  интегральные равенства, которые в операторной форме могут быть записаны в виде:

 

.                                   (26)

 

Выберем теперь, как и прежде, в множестве Г множество П с цент­ром в точке  (см, неравенства (14)), содержащееся в Г, а затем множество  таким образом, чтобы число r, кроме не­равенств (16), (19), (22), удовлетворяло еще тому условию, что при функции  и  определены и удовлетворяют неравенствам:

 

, .

 

Это возможно, так как функции  и  непрерывны. Тогда функции  и , рассматриваемые на, отрезке , входят в семейство  и, следовательно, в силу неравенства (18) и соотношений (26), получаем:

 

,

 

а это возможно только тогда, когда , т.е. когда функций  и  совпадают на отрезке .

Докажем теперь, что функции  и  совпадают на всем интервале . Допустим противоположное, именно, что существует точка  интервала , для которой . Ясно, что . Для определенности будем считать, что . Обозначим через N множество всех тех точек  отрезка , для которых , и докажем, что множество N замкнуто. В самом деле, пусть — последовательность точек множества N, сходящаяся к некоторой точке . Тогда , и потому, в силу непрерывности функций  и ,

 

,

 

т.е. точка  также принадлежит множеству N.

Обозначим через  точную верхнюю грань множества N. Так как N замкнуто, то  принадлежит этому множеству, т. е ; следовательно, . Но тогда, в силу ранее доказанного, функции  и  должны совпадать на некотором интервале , и точка  не может быть точной верхней гранью множества N. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Итак, теорема 2 доказана.