Доказательство теоремы 1

Начальные значения  и  искомого решения уравнения (1) являются координатами точки , лежащей в множестве Г. Выберем прежде всего какой-либо прямоугольник П с центром в точке  со сторонами, параллельными осям, целиком вместе со своей границей содержащихся в множестве Г (рис. 17). Длину горизонтальной (параллельной оси t) стороны прямоугольника П обозначим через 2q, а длину вертикальной стороны – через 2а. Таким образом, точка  тогда и только тогда принадлежит прямоугольнику П, когда выполнены неравенства:

 

,               (12)

 

Так как прямоугольник П есть замкнутое множество, содержащееся в Г, то непрерывные на нем функции f  и  ограничены, и потому существуют такие положительные числа М и К, что для t и x, удовлетворяющих условиям (12), выполнены неравенства

 

,                          (13)

 

Наряду с прямоугольником П будем рассматривать более «узкий» прямоугольник , определяемый неравенствами

 

,                (14)

 

где

 

 

(см. рис. 17). Более точно число r определим далее. Обозначим через семейство всех непрерывных функций, заданных на отрезке , графики которых проходят в прямоугольнике . Таким образом, функция , определенная на отрезке , тогда и только тогда принадлежит семейству , когда для любого t, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство

 

                                                  (15)

 

Постараемся теперь выбрать число r таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия:

а) Если функция  принадлежит семейству , то функция  (см. (5), (6)) также принадлежит семейству .

б) Существует такое число  что для любых двух функций  и  семейства  имеет место неравенство

 

                                        (16)

 

Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция  принадлежала семейству  необходимо и достаточно, чтобы при  было выполнено неравенство

 

 

В силу (5) и (13) мы имеем:

 

 

Из этого видно, что при

                                           (17)

 

условие а) выполнено.

Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем:

 

,

.

 

Вычитая второе равенство из первого, получаем:

 

 (18)

 

Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь формулой Лагранжа и вторым из неравенств (13):

 

;     (19)

 

здесь  – число, заключенное между  и  и, следовательно, удовлетворяющее неравенству . Из (18) и (19) следует:

 

 

Таким образом, условие б) выполнено, если число  меньше единицы, т. е. если

 

                                                             (20)

 

Итак, если число r удовлетворяет неравенствам (14), (17) и (20), то для семейства  выполнены условия а) и б). В дальнейшем будем считать число r выбранным таким образом, что неравенства (14), (17) и (20) для него выполнены.

Построим теперь последовательность

 

                                         (21)

 

функций, определенных на отрезке , положив:

 

                                        (22)

                            (23)

 

Так как функция (22) принадлежит семейству , то и все функции последовательности (21) принадлежат этому же семейству (см. условие а)). Далее, мы имеем (см. (15)):

 

 

В силу (16) получаем:

 

,

откуда

 

 

Таким образом, и силу В), последовательность (21) равномерно сходится на отрезке  к некоторой непрерывной функции . Так как все функции последовательности (21) принадлежат семейству  то и функция  принадлежит ему (см. (15)). Покажем, что функция  удовлетворяет уравнению (7). Для этого заметим, что последовательность

 

 

равномерно сходится к функции ; действительно, мы имеем:

 

.

 

Переходя в соотношении (23) к пределу при , получаем:

 

 

Итак, существование решения  уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (3), доказано; при этом установлено, что решение определено на интервале , где r – произвольное число, удовлетворяющее неравенствам (14), (17) и (20).

Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть  и  - два решения уравнения (1) с общими начальными значениями ,  и  — интервал, являющийся пересечением интервалов существования решений  и ; очевидно, что . Покажем, что если решения  и  совпадают в некоторой точке интервала , то они совпадают и на некотором интервале , где r – достаточно малое положительное число. Положим ; тогда величины ,  могут быть приняты за начальные значения обоих решений  и . В этом смысле точка  ничем не отличается от точки , и поэтому мы сохраним за точкой  обозначение : это позволит нам сохранить и другие прежние обозначения. Переходя от дифференциального уравнения (1) к интегральному уравнению (4), мы получаем для обеих функций  и  интегральные равенства, которые в операторной форме могут быть записаны в виде:

 

.                               (24)

 

Выберем теперь, как и прежде, в открытом множества Г прямоугольник П с центром в точке , а затем прямоугольник  таким образом, чтобы число r кроме неравенств (14), (17), (20) удовлетворяло еще тому условию, что при  функции  и  определены и удовлетворяют неравенствам

 

 

Это возможно, так как функции  и  непрерывны. Тогда функции  и , рассматриваемые на отрезке , входят в семейство , и, следовательно, в силу неравенства (16) и соотношений (24) получаем:

,

 

а это возможно только тогда, когда , т.е. когда функции  и  совпадают на отрезке .

Докажем теперь, что функции  и  совпадают на всем интервале . Допустим противоположное, именно, что существует точка  интервала , для которой . Ясно, что . Для определенности будем считать, что

Обозначим через N множество всех тех точек  отрезка , для которых , и докажем, что множество N замкнуто. В самом деле, пусть  – последовательность точек множества N, сходящаяся к некоторой точке . Тогда , и потому, в силу непрерывности функций  и ,

 

,

 

т.е. точка  также принадлежит множеству N.

Обозначим через  точную верхнюю грань множества N. Так как N замкнуто, то  принадлежит этому множеству, т. е. ; следовательно, . Но тогда, в силу ранее доказанного, функции  и  должны совпадать на некотором интервале , и точка  не может быть точной верхней гранью множества N. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Итак, теорема 1 доказана.

Пример

Для весьма простого уравнения  найдем решение методом последовательных приближений. Решение будем искать с начальными значениями

Соответствующее интегральное уравнение запишется в виде:

Будем строить теперь последовательность

Мы имеем:

 

,

,

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Пределом этой последовательности (равномерно сходящейся на любом отрезке числовой оси) является функция .