Случай простых корней характеристического уравнения

А) Система дифференциальных уравнений (1) в векторной форме переписывается в виде:

 

 (2)

 

Здесь , а вместо системы  неизвестных функций введен неизвестный вектор

 

;

 

под производной  вектора х понимается вектор . Если h есть собственный вектор матрицы А с собственным значением  т.е. если

 

то векторная функция х, определяемая соотношением

 

,

 

является решением уравнения (2).

Последнее утверждение проверяется путем подстановки  в соотношение (2).

Теорема 8. Пусть

 

 (3)

 

- такая система дифференциальных уравнений (см. А.)), что собственные значения  матрицы А попарно различны, и пусть

 

 

- соответствующие собственные векторы этой матрицы. Положим:

 

 (4)

 

Тогда векторная функция

 

 (5)

 

где  – константы, является решением уравнения (3), и всякое решение уравнения (3) задается этой формулой.

Доказательство. В силу предложения А) каждая функция  представляет собой решение уравнения (3), и потому в силу предложения А) §4 формула (5) всегда дает решение уравнения (3). Докажем теперь, что всякое решение уравнения (3) может быть записано в виде (5). Пусть  - произвольное решение уравнения (3). В силу теоремы 3 решение  можно считать заданным на всей бесконечной прямой . Таким образом, решение это определено и при t = 0. Положим . Пусть

 

 

- разложение вектора  по векторам базиса . Тогда решение х, определяемое формулой (5), очевидно, удовлетворяет начальным условиям

 

 

Тем же начальным условиям  удовлетворяет и решение ; таким образом, в силу теоремы единственности (см. теорему 2), .

Итак, теорема 8 доказана.

В случае, если матрица , задающая уравнение (3), действительна, перед нами встает задача выделения из всех решений (5) действительных решений.

Б) Будем считать, что матрица , задающая уравнение (3), действительна, и выберем векторы  таким образом, чтобы действительным собственным значениям соответствовали действительные векторы, а комплексно сопряженным – комплексно сопряженные. Тогда в системе решений (4) каждому действительному собственному значению будет соответствовать действительное решение, а каждым двум комплексно сопряженным собственным значениям будут соответствовать комплексно сопряженные решения. Оказывается, что решение (5) тогда и только тогда действительно, когда константы, стоящие при действительных решениях, действительны, а константы, стоящие при комплексно сопряженных решениях, сопряжены.

Общий случай

Перейдем теперь к решению системы (1) в общем случае (матрица  может иметь кратные собственные значения). Разбор этого случая опирается на весьма нетривиальную и сложно доказуемую алгебраическую теорему о приведении матрицы к жордановой форме.

В) Запишем систему (1) в векторной форме

 

 (6)

 

и пусть

 

 

- некоторая серия с собственным значением  относительно матрицы А, так что выполнены соотношения

 

 

Введем последовательность векторных функций, положив:

 

 (7)

 

Оказывается тогда, что векторные функции

 (8)

 

являются решениями уравнения (6), причем

 

 (9)

 

Таким образом, каждой серии из k векторов соответствует система из k решений.

Для доказательства того, что векторные функции (8) являются решениями уравнения (6), укажем два тождества относительно векторных функций (7). Тождества эти следующие:

 

 

В этих соотношениях принято . Оба они проверяются непосредственно путем проведения элементарных вычислений. При помощи этих тождеств непосредственно проверяется, что функции (8) являются решениями уравнения (6). Действительно, мы имеем:

 

 

Перейдем теперь к формулировке и доказательству теоремы, дающей решение системы (1) в общем случае.

Теорема 9. Пусть

 

 (10)

- векторная запись системы (1). Существует базис , состоящий из серий относительно матрицы А. Для определенности будем считать, что  есть серия с собственным значением ;  есть серия с собственным значением ; и т.д. В силу предложения В) каждой из серий соответствует система решений, так что мы можем выписать следующие решения уравнения (10):

 

 (11)

 

Оказывается, что формула

 

 (12)

 

где  – константы, всегда дает решение уравнения (10) и что каждое решение уравнения (10) описывается формулой (12).

Доказательство. Так как функции  являются решениями уравнения (10) (см. В)), то в силу предложения А) §4 формула (12) всегда дает решение уравнения (10). Покажем, что всякое решение уравнения (10) при надлежащем подборе констант  записывается в виде (12). Пусть  - произвольное решение уравнения (10). В силу теоремы 3 решение  можно считать заданным на всей прямой , и потому вектор  определен. Разложим этот вектор по базису :

 

Если теперь подставить найденные константы  в соотношение (12), то мы получим решение , удовлетворяющее начальным условиям

 

 

(см. (9)). Таким образом, решения  и имеют общие начальные значения и потому совпадают.

Итак, теорема 9 доказана.

Теперь нам осталось выделить из решений, заданных формулой (12), действительные решения в случае, когда матрица  действительна. Делается это совершенно так же, как и в случае простых корней характеристического уравнения.