Основные идеи доказательства

Первым шагом при доказательстве теоремы 1 методом последовательных приближений является переход от дифференциального уравнения к интегральному, который мы формулируем в виде отдельного предложения.

А) Пусть  — некоторое решение уравнения (1), определенное на интервале , так что выполнено тождество

 (2)

и пусть

 (3)

- некоторое начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказывается, что тогда для функции  на всем интервале  выполнено интегральное тождество

 (4)

Обратно если для некоторой непрерывной функции  на интервале  выполнено тождество (4), то функция  дифференцируема, является решением уравнения (1) и удовлетворяет начальному условию (3). Кратко говоря интегральное уравнение (4), эквивалентно дифференциальному уравнению (2) вместе с начальным условием (3).

Докажем это. Допустим сначала, что выполнено соотношение (4). Заменяя в нем переменное t его значением , получаем: . Таким образом, из (4) вытекает (3). Далее, правая часть тождества (4) очевидно дифференцируема по t, а потому дифференцируема по t и левая его часть. В результате дифференцирования тождества (4), получаем тождество (2).

Допустим теперь, что выполнены соотношения (2) и (3). Интегрируя соотношение (2) в пределах от  до t, получаем:

В силу соотношения (3) из последнего равенства получаем (4).

Таким образом, предложение А) доказано.

Введем теперь некоторые обозначения, используемые ниже при доказательстве теоремы 1.

Б) Пусть  - такая непрерывная функция, определенная на некотором отрезке , что ее график расположен в открытом множестве Г, и  - некоторая точка отрезка . Тогда, пользуясь правой частью тождества (4), можно функции  поставить в соответствие функцию , определенную также на отрезке , при помощи равенства

 (5)

(график функции , конечно, уже может не проходить в множестве Г). Таким образом, правую часть тождества (4) можно рассматривать как оператор, ставящий в соответствие функции  функцию . Обозначая этот оператор одной буквой А, мы запишем соотношение (5) в виде формулы

 (6)

Пользуясь оператором А, интегральное уравнение (4) можно записать в виде:

 (7)

В) Пусть,  - некоторая непрерывная функция, определенная на отрезке . Нормой  этой функции называется максимум ее модуля

Если  и  - две непрерывные функции, заданные на отрезке , то норма  их разности  является неотрицательным числом, оценивающим, насколько сильно отличаются эти функции друг от друга. Если число  мало, то функции  и  «близки» друг к другу. Равенство = 0 имеет место тогда и только тогда, когда функции  и  тождественно совпадают. Пользуясь понятием нормы, легко можно формулировать известное из курса анализа условие равномерной сходимости последовательности непрерывных функций. Пусть

 (8)

- последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке . Последовательность (8) равномерно сходится к функции , определенной на том же отрезке , если

Для того, чтобы последовательность (8) равномерно сходилась, достаточно, чтобы имели место неравенства

где числа  образуют сходящийся ряд.

Прежде чем перейти к детальному проведению доказательства теоремы 1, изложим кратко суть метода последовательных приближений, применяемого для решения уравнения (7). Строится последовательность

 (9)

непрерывных функций, определенных на некотором отрезке , который содержит внутри себя точку . Каждая функция последовательности (9) определяется через предыдущую при помощи равенства

 (10)

Если график функции , проходит в множестве Г, то функция , равенством (10) определяется, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция , нужно, чтобы и график функции  проходил в множестве Г. Этого, как мы покажем, удается до­стичь, выбрав отрезок  достаточно коротким. Далее, также за счет уменьшения длины отрезка , можно достичь того, чтобы для последовательности (9) выполнялись неравенства

 (11)

где 0<k<1. Из неравенства (11) следуют неравенства

и, таким образом, последовательность (9) равномерно сходится (см. В)). Далее уже легко устанавливается, что предел  последовательности (9) удовлетворяет уравнению (7).

Ту же конструкцию можно описать несколько иным способом – в форме метода сжатых отображений. Выберем некоторое семейство  функций, заданных на отрезке  (причем ), так, чтобы графики этих функций проходили в множестве Г. Допустим еще, что в отношении оператора А семейство  удовлетворяет следующим двум условиям: 1) применяя оператор А к любой функции семейства , мы вновь получаем функцию семейства ; 2) существует такое число k, 0<k<1, что для двух произвольных функций  и  семейства  выполнено неравенство

В этом смысле отображение А является сжатым (правильнее было бы сказать «сжимающим»).

Легко видеть, что если для семейства  выполнены формулированные условия, то, исходя из произвольной его функции , мы по индуктивной формуле (10) получим бесконечную последовательность (9), удовлетворяющую условию (11), и, как было отмечено выше, равномерно сходящуюся к решению уравнения (7).

Перейдем теперь к доказательству теоремы 1 на основе изложенных соображений.