Линейное однородное уравнении с постоянными коэффициентами (случай простых корней)

 

В этом и следующем параграфах будет решено линейное одно­родное уравнение с постоянными коэффициентами порядка n, т. е. уравнение

 

 (1)

 

где z есть неизвестная функция независимого переменного t, а коэффициенты  суть постоянные числа (действительные или комплексные). Сначала будут найдены все комплексные решения этого уравнения, а затем (в случае, когда коэффициенты  действительны) из них будут выделены действительные решения. Уравнение (1) можно записать в виде:

 

 (2)

 

так что к нему применима теорема существования и единственности. В дальнейшем будет использована лишь единственность, так как решения уравнения (2) будут найдены явно и тем самым существование их будет установлено; единственность же будет использована для доказательства того, что найдены все решения.

В инженерных применениях обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет операционное исчисление. Мы используем здесь символические (или, иначе, операционные) обозначения, лежащие в основе операционного исчисления. Суть этих обозначений заключается в том, что производная по времени t, от произвольной функции  обозначается не через , а через , так что буква р, стоящая слева от функции, является символом дифференцирования по t. Если позволить себе применить к символу дифференцирования р некоторые алгебраические действия, то мы приходим к обозначению

 

 

Пользуясь этим обозначением, мы можем написать

 

 

Если теперь в правой части последнего равенства позволить себе вынести за скобку функцию z, то мы получаем равенство

 

 

Таким образом, мы приходим к формальному определению.

А) Пусть

 

 

- произвольный многочлен относительно символа р с постоянными коэффициентами (действительными или комплексными) и z — некоторая действительная или комплексная функция действительного переменного t. Положим:

 (3)

 

Если  и  суть два произвольных многочлена относительно символа р (или, как говорят, оператора дифференцирования р), а  — функции переменного t, то, как легко видеть, мы имеем тождества

 

 

В силу введенных обозначений уравнение (1) может быть записано в виде:

 

 (4)

где

 

Б) Пусть  — произвольный многочлен относительно символа р. Тогда

 

 (5)

 

Докажем формулу (5). Мы имеем

 

 

Из этого следует, что . Отсюда формула (5) вытекает непосредственно (см. (3)).

Из формулы (5) следует, что функция  тогда и только тогда является решением уравнения (4), когда число  есть корень многочлена . Многочлен  называется характеристическим многочленом уравнения (4). В том случае, когда он не имеет кратных корней, совокупность всех решений уравнения (4) описывается следующей теоремой.

Теорема 4. Предположим, что характеристический многочлен  уравнения

 

 (6)

 

(см. (1) и (4)) не имеет кратных корней, и обозначим его корни через

 

 

Положим:

 

 (7)

 

Тогда при любых комплексных постоянных  функция

 

 (8)

 

является решением уравнения (6). Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнении (6) может быть получено по формуле (8) при надлежащем выборе констант . При этом константы  (называемые постоянными интегрирования) однозначно определяются для каждого данного решения z.

Заметим, что функции (7) определены на всей числовой прямой .

Примеры

1. Найдем все комплексные решения уравнения

 

 

Его можно записать в виде (6), где

 

 

Непосредственно проверяется, что р = - 1 есть корень характеристического многочлена L(р). Разделив L(р) на р+1, получаем:

 

 

откуда находим еще два корня . Таким образом, корнями многочлена L(р) являются числа

 

 

В силу теоремы 4 общее комплексное решение рассматриваемого уравнения имеет вид:

 

 

2. Будем считать, что система решений (7) удовлетворяет условиям

 

 (9)

и положим:

 

 

где  - действительные функции. Будем, далее, считать, что числа  удовлетворяют условиям

 

                      (10)

 

и положим:

 

 

где  — действительные числа. При этих обозначениях общее действительное решение уравнения (6) записывается в виде:

 

 

где

 

 

суть произвольные действительные числа.