Вспомогательные предложения

Для того чтобы непринужденно пользоваться векторными обозначениями, установим прежде всего некоторые естественные определения и простые неравенства для векторов и векторных функций.

Длина или модуль  вектора (2), как известно, определяется формулой

.

Известно и без труда доказывается, что если х и у суть два вектора, то имеет место неравенство

.

Из этого неравенства следует аналогичное неравенство и для про­извольного числа векторов  именно:

                               (4)

Пусть  — непрерывная векторная функция действительного переменного t, т. е. вектор, координаты которого являются непрерывными функциями переменного t. Если функция  определена на интервале , то при  на том же интервале можно определить векторную функцию

,

задав компоненты  вектора  формулами

;

при этом имеет место неравенство

.                              (5)

Установим еще одно неравенство для векторной функции

векторного переменного х, заданной на выпуклом множестве  пространства переменных . Предположим, что имеют место неравенства:

,

где К — положительное число. Оказывается тогда, что для двух любых точек х и у множества  выполнены неравенства

.                                 (6)

Так же, как при доказательстве теоремы 1, от дифференциального уравнения (3) перейдем к интегральному.

А) Пусть  — некоторое решение    дифференциального уравнения (3), так что выполнено тождество

                                     (7)

и пусть

                                             (8)

— начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказывается, что совокупность соотношений (7) и (8) эквивалентна одному соотношению

                                  (9)

Докажем это. Допустим, что выполнено интегральное тождество (9). Подставляя в него , получаем равенство (8), а дифференцируя его по t, получаем тождество (7). Допустим теперь, что выполнены соотношения (7) и (8). Интегрируя соотношение (7) в пределах от  и  и принимай во внимание соотношение (8), мы получаем соотношение (9).

Б) Пользуясь правой частью тождества (9), каждой векторной функции , график которой проходит в множестве Г, поставим в соответствие функцию , положив:

.                               (10)

Кратко, в операторной форме то же соотношение запишем в виде:

.                                     (11)

Уравнение (9) теперь может быть записано в виде:

.                                       (12)

В) Пусть  — непрерывная векторная функция, заданная на отрезке . Определим норму этой функции, положив:

Пользуясь понятием нормы, можно формулировать определение равномерной сходимости последовательности

                                (13)

непрерывных векторных функций, заданных на отрезке . Последовательность (13) векторных функций равномерно сходится к непрерывной функции , заданной на том же отрезке , если

.

Для того чтобы последовательность (13) равномерно сходилась, достаточно, чтобы были выполнены неравенства

где числа  образуют сходящийся ряд.

Прейдем теперь к доказательству теоремы 2.