Уравнение длинной линии во временной области.

           Переходные процессы в линии возникают, например, при ее включении и выключении, при воздействии ударных волн и т.п. Для исследовании таких процессов необходимо решать системы уравнений в частных производных при заданных граничных и начальных условиях.

           Рассмотрим дифференциальный отрезок однородной линии.

           Ток в проводах линии зависит не только от , так как на каждом отрезке  ответвляет ток и падает напряжение. Изменение напряжения  между проводниками в данной момент времени определяется напряжением на омическом  и индуктивном сопротивлениях . Изменение тока связано с током смещения  и током проводимости .

           Составим уравнения в соответствии с приведенными рисунками.

Уравнение однородной неискажающей линии в операторной форме.

           Так как напряжение и ток являются функциями двух переменных  и , то операторные изображения являются функциями двух переменных  и .

Производная по времени от напряжения изображается:

где  есть распределение напряжения вдоль линии при  .

           Производная от напряжения по  будет:

           Соответственно изображение для производных тока будут:

           Таким образом уравнения однородной линии в операторной форме примут вид:

           Существенная особенность уравнений:

           Уравнение относительно операторных изображений  являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, так как содержат только одну переменную .

           (аналогично с уравнениями линии, записанными в комплексной форме при гармоническом воздействии).

Решение уравнений однородной неискажающей линии в операторной форме.

           Решая совместно полученные уравнения при заданных граничных условиях (при  и ) мы можем найти операторные изображения  и , а по ним и оригиналы  и .

           При нулевых начальных условиях  уравнения принимают вид:

        (2.3.1)

           Дифференцируя первое уравнение по  и используя второе, находим:

Аналогично для второго уравнения:

.

           Решением этого уравнения является:

;

где  и  не зависят от , но могут быть функциями от , т.е. .

           Из уравнения (2.3.1), выражая  для операторного изображения тока получаем:

где  – операторное волновое (характеристическое) сопротивление линии.

            – операторное изображение коэффициента распространения.

           Решение упрощается в случае неискажающей линии:

 и

Таким образом:

           Оригинал функции от , стоящей при множителе , можно получить, применяя формулу Фимана (обратное преобразование Лапласа)

Из последнего выражения видно, что  является функцией аргумента , так как  и  входят совместно только в такой комбинации, т.е. .

           Аналогично для функции от  при :

Таким образом решения для напряжения и тока запишутся: