Решение уравнений длинных линий

           для решения однородных волновых уравнений (1.2) составим их характеристическое уравнение и определим его корни.

           Тогда решение уравнений для напряжения и тока можно записать в виде:

                                               (1.3)

           Для определения постоянных интегрирования  зададимся граничными условиями. Воспользуемся значениями напряжения и тока в нагрузке  и на входе линии . Чтобы не определять четырех постоянных интегрирования, решение для тока выразим через найденное решение для напряжения.

           Для этого определим из (1.3) производную и подставим ее в первое телеграфное уравнение системы (1.1). Получим уравнение:

           Откуда:

           Так как , то

           В общем случае волновое сопротивление линии является комплексной величиной . Выражение для тока в линии запишется:

                                                                          (1.4)

           Найдем постоянные интегрирования  и  в начале линии ( ). Тогда при  из первого уравнения (1.3) и уравнений (1.4) получим:

откуда, выразив константы интегрирования, можно записать:

           ,                      .

           Следовательно:

                                   (1.5)

           Обозначая индексами "+" и "-" соответственно падающие и отраженные волны напряжения и тока, можно записать выражения для них в следующей форме:

           ,     ,

           ,                  (1.5)

           Отсюда выражения для волн напряжения и тока в произвольной точке линии запишутся:

                                                                                (1.6)

           Используя соотношения для гиперболических функций:

           ,                   

систему (1.5) можно переписать в следующем виде:

           Приняв начало отсчета от нагрузки, значения напряжения  и тока  в конце линии, можно получить в виде:

           Если из этих уравнений выразить ток  и напряжение  на входе через ток  и напряжение  на выходе, то можно получить уравнения отрезка линии передачи, представив его как четырехполюсник в системе -параметров, когда независимыми переменными являются ток и напряжение в нагрузке:

                                                                                    (1.7)

           Матрица передачи отрезка линии запишется:

                                          (1.8)

           При  матрица (1.8) превращается в матрицу непосредственного соединения (единичную матрицу):

             ,

где коэффициенты матрицы являются коэффициентами в следующей системе уравнений:

           .

           Таким образом критерием отсутствия распределенных эффектов является неравенство . При выполнении этого условия гиперболические косинусы в (1.8) принимают единичные, а гиперболические синусы – нулевые значения.

           Коэффициент фазы  в однородной линии без потерь связан с фазовой скоростью (скоростью перемещения фронта волны) следующим соотношением:

           ,      где .

           Если учесть, что  или , а также полученное в п.1.2 выражение для коэффициента фазы , то фазовая скорость волны через погонные параметры схемной модели однородной линии без потерь может найдена по формуле:

           .