Входное сопротивление линии

           Рассмотрим цепь, состоящую из генератора гармонических колебаний с комплексной амплитудой , отрезка линии длиной  и сопротивления нагрузки .

           Воспользуемся уравнениями (1.7) для напряжения и тока в линии:

           Деля оба уравнения на ток , первое уравнение на второе, а также учитывая, что сопротивление нагрузки через ток и напряжение на выходе определяется соотношением:

           ,

получим:

                (1.9)

           Полученное выражение для входного сопротивления имеет большое практическое значение.

           В случае короткого отрезка линии ( )  и сопротивление в соответствии (1.9) описывается выражением:

                                                                        (1.10)

           Короткозамкнутый отрезок линии ( ) имеет входное сопротивление в соответствии с (1.9):

                                                                                       (1.11)

           Если потери малы и ими можно пренебречь ( ), постоянная распространения . Тогда выражение для входного сопротивления можно записать:

                                                           (1.12)

           Для разомкнутой линии ( ):

                                                                                           (1.13)

           В случае малых потерь:

                                                         (1.14)

           Для короткого ( ) короткозамкнутого отрезка линии входное сопротивление в соответствии с (1.9) определится по формуле:

           .

           Учитывая, что , а , входное сопротивление через погонные параметры определится как:

           .

           Из последнего выражения следует, что короткий короткозамкнутый отрезок линии подобен резистору или индуктивному элементу (в зависимости от соотношения  и ).

           Для короткого ( ) разомкнутого отрезка линии ( ) можно записать:

           Здесь первое слагаемое связано с активной, а второе с реактивной (емкостной) составляющей полного комплексного сопротивления.

           Таким образом, схемная модель короткой разомкнутой линии может быть представлена последовательно включенным резистором и емкостным элементом.

           Рассмотренный анализ входного сопротивления отрезка линии имеет практическое значение, поскольку один из методов измерения волнового сопротивления линии связан с опытами холостого хода и короткого замыкания. Перемножая выражения для входного сопротивления в режиме холостого хода (1.11) и короткого замыкания (1.13), получим волновое сопротивление линии в виде: .

           Графики зависимостей входных сопротивлений короткозамкнутой и разомкнутой линий передачи без потерь как функции длины представлены на рисунках 1.5 и 1.6.

           Рис. 1.5 Входное сопротивление короткозамкнутой линии без потерь.

           Рис.1.6. Входное сопротивление разомкнутой линии без потерь.

           В соответствии с приведенными рисунками характер волнового сопротивления (индуктивной или емкостной) связан с четвертьволновыми отрезками, отсчитанными от конца линии, а в точках, кратных четверти длины волны имеет место резонанс токов или напряжений. Анализ рисунков 1.5 и 1.6 показывает, что физические процессы в короткозамкнутой и разомкнутой линиях передачи аналогичны, но характер сопротивления и вид резонанса связаны с плоскостью отсчета пространственной координаты.

           В короткозамкнутой линии последовательному колебательному контуру эквивалентны отрезки линии длиной , …, а параллельному контуру – участки длиной ,…

           В разомкнутой линии последовательному колебательному контуру эквивалентны отрезки линии длиной ,…, а параллельному контуру – участки длиной ,…

           Если длина линии не кратна четверти длины волны, то входное сопротивление будет либо емкостным, либо индуктивным. При этом будет изменяться и характер запасенной на отдельных участках цепи энергии. Электрическую энергию можно связать со стоячей волной напряжения, а магнитную энергию – со стоячей волной тока. Вектор Пойнтинга, описывающий поток электромагнитной энергии, на соседних четвертьволновых отрезках линии имеет противоположное значение, а средние значения энергии на этих участках равны. Это означает, что среднее значение энергии на отрезке линии  в любой момент времени равно нулю.

           Таким образом, в линии произвольной длины на участках кратных  энергия сосредоточена в стоячих волнах и взаимного обмена энергией между этими участками и генератором не происходит, а возможно только рассеяние энергии за счет потерь. Другими словами, отрезок линии длиной менее  фактически выполняет роль нагрузки.

           В теории длинных линий в связи с рассмотренными процессами известен метод вспомогательного отрезка. Идея состоит в использовании сходных свойств разомкнутой и короткозамкнутой линий (рис.1.5 – 1.6), повторяющихся с интервалом . Заменяя, например, короткозамыкающий провод в линии рис.1.5 четвертьволновым отрезком можно получить разомкнутую линию, распределения тока и напряжения, в которой по отношению к исходной линии не изменяется.

           Рассматривая выражения для входного сопротивления короткозамкнутой линии длиной  и разомкнутой длиной , получим в соответствии с (1.14):

           .

Полученный результат совпадает с (1.12) для короткозамкнутого отрезка линии.