Если же среди членов ряда имеются отрицательные числа, то данные признаки перестают быть верными, т.е. их нельзя использовать.

Предельный признак сравнения.

(1) сравним с эталонным (2)

Если , где и , то ряды (1) и (2) ведут себя одинаково (вместе сходятся или расходятся).

Эталонные ряды:

· - гармонический ряд (расходится)

· -обобщенный гармонический ряд

· -геометрическая прогрессия

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Вопользуемся признаком сравнения, сравнив данный числовой ряд с положительными членами с гармоническим рядом

.

Так как

и гармонический ряд является расходящимся, то и наш числовой ряд по признаку сравнения расходится.

Ответ: ряд расходится.

Пример

Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Исследуем данный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом . Так как , то данный ряд расходится.

Вычислим предел:

Следовательно, оба ряда вместе расходятся согласно предельному признаку сравнения.

Ответ: Ряд расходится.

Признак Доламбера и радикальный признак Коши.

Признак Даламбера

Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:

• число в степени,
• факториал,
• цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.

Основной фигурант признака Даламбера - дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе - предыдуший член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения... Впрочем, перейдём к научной форме изложения признака Даламбера.

Теорема(признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами при существует предел отношения (n + 1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, т.е.

(19)

Тогда: а) если , то ряд сходится; б) если , то ряд расходится; в) если , то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.

Доказательство.Таккак , то по определению предела для любого e>0 найдется натуральное число N такое, что при n>N выполняется неравенство .

Пусть . Можно подобрать e так, что число l+e<1. Обозначим l+e=q, q<1. Тогда из правой части неравенства получаем . В силу свойства числовых рядов можно считать, что для всех n=1,2,3… Давая номеру n эти значения, получаем серию неравенств:

, , ,…, ,…

т.е. члены ряда меньше соответствующих членов ряда , который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд , следовательно, сходится и исходный ряд.

Пусть . В этом случае . Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство , т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому . На основании следствия из необходимого признака ряд расходится. Ч.т.д.

Радикальный п. Коши.

Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми:

Если начиная с какого-то номера выполняется неравенство , то ряд сходится.
Если же , то ряд расходится.

Доказательство

1 вариант.Пусть . Так как , то ряд будет сходиться, а значит по признаку сравнения в форме неравенств ряд так же является сходящимся.

Если , что противоречит необходимому условию сходимости ряда ( ). Значит ряд расходится.

2 вариант. По определению предела последовательности:

, ; . Следовательно,

, или для .Таким образом, имеем

Т.к. члены ряда (1) меньше, чем члены ряда (2), в который входит прогрессия, следовательно ряд (2) сходящийся.