Необходимое условие сходимости ряда.

Если условие (1) не выполняется, то ряд расходится. Условие (1) не является достаточным условием сходимости ряда, т.е. из выполнения равенства не обязательно вытекает сходимость ряда.

Пример.Гармоническим рядом называется ряд

Для этого ряда но этот ряд расходится, как показывает далее интегральный признак Коши.

Расходимость гармонического ряда.

Теоремы сравнения для положительных рядов.

Если известно, что все члены ряда имеют, начиная с некоторого номера, постоянный знак, то исследовать его сходимость проще, чем в общем случае. Это связано с простым критерием сходимости для таких рядов. Для простоты предположим, что все .

Теорема. (Критерий сходимости рядов с неотрицательными членами). Ряд сходится .

Доказательство.

. Пусть . Тогда при всех .

. Пусть .Поскольку , последовательность возрастает и, по условию, ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса (см. 1-ый семестр), она имеет предел, то есть ряд сходится.

Простые следствия из этого критерия – очень полезные теоремы сравнения.

Теорема 1. Пусть для всех и пусть ряд - сходится. Тогда сходится ряд .

Доказательство. Очевидны неравенства . По условию - сходится. Значит, по приведенному выше критерию, . Но тогда и и, значит, ряд - сходится.

Примечание 1. Эта теорема может быть сформулирована и так: Пусть для всех и ряд - расходится, тогда расходится и ряд . Действительно, если бы этот ряд сходился, то первой теореме должен был бы сходиться и ряд .

Примечание 2. Теорема 1 справедлива и в случае, когда неравенство выполняется начиная с некоторого номера .

Теорема 2. Пусть для всех и . Тогда либо оба ряда и сходятся, либо они оба расходятся. (Т.е. не может быть так, что один из них сходится, а другой расходится).

Доказательство. .Выберем .Тогда (т.к. ) при .

Если ряд – сходится, то сходится и ряд (по примечанию 2 к теореме 1). Тогда, взяв , получим, что и ряд , т.е. ряд – сходится.

Если ряд – сходится, то сходится и ряд и, следовательно, сходится ряд .

Теорема доказана.

Пример применения теоремы 2. Ряд сходится, т.к. при и ряд – сходится.

Сравнение рядов с положительными членами

Пусть имеем два положительных ряда с положительными членами:

(1)

(2)

Для них справедливы следующие теоремы:

Теорема 1:

Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е.

и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Теорема 2:

Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е.

и ряд (2) расходится, то и ряд (1) расходится.

Важно!

Обе теоремы справедливы только для рядов с положительными членами или если некоторые члены ряда равны нулю.