Несобственный интеграл.

Пусть f(x) определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.

2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Пусть f(x) определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае называется сходящимся.

2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Если функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с — произвольное число.

Признаки сходимости. Признаки сравнения.

Приложение определенного интеграла в физике и механике. Площадь плоской фигуры.

а) Площадь фигуры

Как уже отмечалось в лекции 19, численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(x) , прямыми х = а, х = b и отрезком [a, b] оси ОХ. При этом если f(x) £ 0 на [a, b], то интеграл следует взять со знаком минус.

Если же на заданном отрезке функция у = f(x) меняет знак, то для вычисления площади фигуры, заключенной между графиком этой функции и осью ОХ, следует разбить отрезок на части, на каждой из которых функция сохраняет знак, и найти площадь каждой части фигуры. Искомая площадь в этом случае есть алгебраическая сумма интегралов по этим отрезкам, причем интегралы, соответствующие отрицательным значения функции, взяты в этой сумме со знаком «минус».

Если фигура ограничена двумя кривыми у = f₁(x) и у = f₂(x), f₁(x)£f₂(x), то, как следует из рис.9, ее площадь равна разности площадей криволинейных трапеций аВСb и аАDb, каждая из которых численно равна интегралу. Значит,

.

Вычисление длины дуги плоской кривой

1 случай. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая . Вычислим длину дуги кривой, заключенной между точками и (рис. 12).

Возьмем на дуге точки с абсциссами и проведем хорды , длины которых обозначим соответственно . Тогда получим ломанную , вписанную в дугу . Длина ломанной равна

.

Определение. Длиной дуги называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломанной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

.

Длина всей дуги , заключенной между точками и , вычисляется по формуле

.

В полярных .

Связь декартовых координат с полярными задается формулами

Известно, что длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, вычисляется по формуле .

Вычислим производные координатных функций

Подставим их в подкоренное выражение и упростим его

Подставляя это выражение в формулу длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, получаем формулу длины дуги, заданной

в полярных координатах

.

Параметрически:

, , =

Длина кривой заданной параметрически, выражается через определенный интеграл L= .