Криволинейный интеграл 2 рода.

Если существует , не зависящий ни от способа разбиения дуги на части, ни от выбора точки , то этот предел называетсякриволинейным интегралом II рода и обозначается

или .

Итак, по определению, криволинейный интеграл IIрода

,

Заметим, что условие →0 равносильно условиям

В отличие от криволинейного интеграла Iрода, который еще называютинтегралом по длине дуги,криволинейный интеграл II рода называюткриволинейным интегралом по координатам.

2. Определение. Криволинейным интегралом второго рода от функции по кривой AB называется предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения кривой AB на частичные дуги , ни от выбора в каждой из них точки :

или в другой записи:

,

где векторный элемент касательной к контуру интегрирования в точке равен

и скалярное произведение

.

Функция называется интегрируемой по (вдоль) кривой AB, сама кривая AB – контуром интегрирования, A – начальной, а B – конечной точками интегрирования.

Если AB – замкнутая кривая, т.е. точка B совпадает с точкой A, из двух возможных направлений обхода замкнутого контура AB условимся называть положительным то направление, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода контура AB условимся называть отрицательным.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру , пробегаемому в положительном направлении, обычно обозначают так:

Физический смыслкриволинейного интегралаIIрода по дуге кривойL:

определяет работу силы при перемещении материальной точкивдоль кривой L из положенияАв положение В.

Числовые ряды. Сумма ряда. Геометрическая прогрессия.

Рассмотр. бесконечн. посл. чисел Q₁,Q₂,…,Qn₁,… и с помощью этих чисел состав. формальное выражение

Запись (1) назв. числовым рядом, а a_n-общий член ряда.

Сумма ряда. Частичной суммой Sn ряда (1) назв. сумма его первых n-членов. Sn=a₁+a₂+…+a_n.

Если сущ. конечный предел последоват. , то ряд назыв. сходящимся, а числоS-его суммой.

Если предел не сущ. и равен бесконечности, то ряд наз. расходящимся.

Геометрический ряд – это ряд, составл. из членов геометрической прогрессии, т.е. ряд вида:

b₁+b₁q+b₁q²+…+b₁q^n-1+…, b₁

при |q<1| геометрический ряд сх-ся S=b/1-q ; при |q>1|- расх-ся

Геометрическая прогрессия- это ряд вида

Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Теорема 2.Пусть . Тогда геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда |q|<1. В этом случае сумма геометрической прогрессии равна .

Утверждение следует из равенства □