Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

Рассмотрим основные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции.

При нахождении интегралов вида ,

, подынтегральные функции из произ-

ведений преобразовываются в суммы с помощью формул:

,

,

.

В результате полученные интегралы находятся с использованием методов интегрирования и таблицы интегралов. При этом можно использовать формулы и .

Интегралы вида можно находить довольно просто в следующих случаях.

1.Если m – положительное нечётное число, то можно отделить первую степень синуса и применить подстановку . Тогда и подынтегральное выражение с помощью тригонометрических формул сведётся к степенным функциям.

2.Если n - положительное нечётное число, то можно отделить первую степень косинуса и выполнить замену . Тогда и подынтегральное выражение с помощью тригонометрических функций тоже сведётся к степенным функциям.

3.Если m и n – неотрицательные чётные числа, то преобразование подынтегральных выражений можно выполнять с помощью формул понижения степени и .

4.Подынтегральная функция представляет собой дробь, в числителе которой находится степень синуса, а в знаменателе – степень косинуса, или наоборот. При этом показатели степени или оба чётные, или оба нечётные, т.е. одинаковой чётности.

В этом случае, если в числителе синус, то наиболее подходящей является подстановка .Отсюда , , , .

Если же в числителе косинус, то удобно использовать подстановку .Тогда , , , .

5. Нахождение интегралов вида сводится с помощью подстановки к нахождению интегралов от рациональных функций. Подстановка называетсяуниверсальной тригонометрической подстановкой, которая всегда приводит к результату. В этом случае , , , , .

Интегрирование иррациональных выражений. Интеграл от Дифференциального бинома.

а) Рассмотрим интегралы вида

(2)

где R – рациональная функция от переменных, - натуральные числа,

Пусть S – наименьший общий знаменатель дробей Тогда с помощью замены интеграл (2) сводится к интегралу от рациональной функции переменного .

Рассмотрим, например, интеграл

.

Выбирая наименьший общий знаменатель дробей (то есть 6), сделаем замену . Тогда и

Остается вычислить последний интеграл, как это указано в интегрировании рациональных дробей.

б) При вычислении интегралов вида

1) 2) 3)

где - рациональная функция, удобно пользоваться следующими тригонометрическими подстановками соответственно:

или 2) или 3) или

В этом случае исходные интегралы сводятся к интегралам, описанным в универсальной триг подстановке и в интегрлах видагдеи- целые числа.