Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл вида f(t)dt=Ф(x), x [a,b] – интеграл с перем. верхним пределом.

Теорема 1: пусть f(x) непрерыв. на [a,b], тогда Ф(х)= f(t)dt тоже непрерыв. на [a,b]

Док-во: х [a,b] возьмем (х+ х) [a,b]. Рассмотрим Ф(х)=Ф(х+ х)-Ф(х)= f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt+ f(t)dt- f(t)dt= f(t)dt=f( ) х, где [х, х+ х].

Ф(х)=f( ) х.

х 0 => Ф(х) 0, что означает непрерывность Ф(х) в точке х.

т.к. х – любое, то Ф(х) непрерыв. на [a,b]. ч.т.д.

Теорема 2 (т. Барроу):пусть f(x) непрер. на [a,b], тогда Ф(х)= f(t)dtявл. первообразной для f(x) на [a,b], т.е. ( f(t)dt)¢=f(x)

Производная от интеграла с перем. верхним пределом равна подинтегр. ф-ции от перем. предела.

Док-во: Ф(х)=f( ) х, где [х, х+ х]

( f(t)dt)¢=Ф¢ (x)=lim _{х 0} Ф(х)/ х= lim _{х 0} f( ) х/ х= lim _{х 0} f( ) (тогда х) =f(x) ч.т.д

f(х)dх= f(t)dt+С

Пусть F(x) – некот. первообразная для f(x)

Ф(х)=F(х)+С₀

f(t)dt=0

0=Ф(a)=F(а)+С₀ => С₀ = -F(а) => Ф(х)=F(х)-F(а)

Ф(b)=F(b)-F(а)

f(х)dх=F(b)-F(а) – ф-ла Ньютона-Лейбница

Вывод: если f(х) непрер. на [a,b], то для любой ее первообразной F(х) на [a,b] имеет место ф-ла Н.-Л.

Если функция f ( x ) интегрируема на [ a ; b ], то для любого существует интеграл
который называется интегралом с переменным верхним пределом .

Если функция f интегрируема на [ a ; b ], то функция F ( x ) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [ a ; b ] и непрерывна в то функция F ( x ) дифференцируема в причем

Если функция f непрерывна на [ a ; b ], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида
где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [ a ; b ] удовлетворяет этой формуле.

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница :

Пусть функция f ( x ) непрерывна на [ a ; b ], а F ( x ) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F ( b ) – F ( a ).

Пусть f ( x ) непрерывна на [ a ; b ], g ( t ) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле :

Если функции u ( x ) и v ( x ) имеют на [ a ; b ] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Интегрирование по частям и замена переменной в о.и.

По частям.

Теорема. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла

где и - непрерывно дифференцируемые на функции.

Доказательство. Произведение имеет на непрерывную производную

Поэтому по теореме Ньютона-Лейбница

Этим теорема доказана.

Например,найти интеграл .

Обозначим и . Тогда . Поэтому

Или, окончательно

Замена.

Теорема: Имеет место равенство

где функция непрерывно дифференцируема на , , и непрерывна на - образе отрезка при помощи функции .

Доказательство. Пусть и - первообразные функции соответственно и . Тогда справедливо тождество

где - некоторая постоянная. Поэтому

На основании формулы Ньютона-Лейбница, левая часть этого равенства равна левой части равенства теоремы, соответственно и правые части, что доказывает теорему.

Пример 1. Найти интеграл .

Сделаем замену переменных: . Найдем дифференциал : . В результате наш интеграл примет вид:

Преобразуем подынтегральное выражение:

Взяв этот интеграл, получим:

.