Операторный метод расчета

Операторный метод расчета переходных процессов основан на замене функции времени f(t), называемой оригиналом, функцией комплексной переменной F(p), называемой изображением. Переход осуществляют прямым преобразованием Лапласа:

(7.41)

где р - комплексная переменная, называемая оператором: .

Для оригиналов токов и напряжений электрических цепей интеграл с бесконечным верхним пределом в (7.41) существует, а изображения приведены в справочной литературе в виде формул соответствия (табл. 7.1)

Операторный метод позволяет заменять систему интегро-дифференциальных уравнений, составленных для оригиналов, системой алгебраических уравнений для изображений. Независимые начальные условия, определяющие внутренние запасы энергии, учитываются при переходе от оригинала к изображению.

Для расчета переходных процессов операторным методом применяют операторную схему замещения электрической цепи.

Учитывая начальные значения i(0) и u(0), запишем операторные уравнения связи тока и напряжения для элементов цепи. На активном сопротивлении R напряжение связано с током законом Ома: , из операторной записи которого

(7.42)

следует, что активное сопротивление в операторной форме (рис. 7.16) не меняет свой вид:

.

На индуктивном элементе L напряжение связано с током соотношением , из операторной записи которого

(7.43)

следует, что индуктивное сопротивление в операторной форме имеет вид

,

а ненулевое начальное условие учитывают, вводя в операторную схему (рис. 7.17) дополнительный источник Li(0), совпадающий по направлению с током.

На емкостном элементе С напряжение и ток связаны соотношением, , из операторной записи которого

(7.44)

следует, что емкостное сопротивление в операторной форме равно:

,

а ненулевое начальное условие учитывают, вводя в операторную схему (рис. 7.18) дополнительный источник , направленный встречно току. Ненулевые начальные условия определяют из расчета цепи до коммутации.

Расчет неразветвленной цепи при ненулевых начальных условиях (рис. 7.19) можно выполнить с помощью второго закона Кирхгофа, получив изображение тока в виде рациональной дроби:

.

При нулевых начальных условиях изображение тока определяется законом Ома:

,

где Z(p) – операторное сопротивление цепи: , получаемое из комплексного сопротивления заменой jω на комплексный оператор p.

Расчет разветвленной цепи выполняют методами линейных электрических цепей, основанными на законах Кирхгофа:

; (7.45)

. (7.46)

Обратный переход от изображения к оригиналу ( ) осуществляют с помощью:

- формул соответствия (см. табл. 7.1);

- теоремы разложения, позволяющей по изображению функции в виде рациональной дроби

находить оригинал в виде суммы показательных функций, умноженных на постоянные коэффициенты:

, (7.47)

где p_k – корни характеристического уравнения ;

- обратного преобразования Лапласа

, (7.48)

вычисляя интеграл по прямой, расположенной правее особых точек изображения .

Порядок расчета переходных процессов операторным методом заключается в следующем:

· составляют операторную схему замещения цепи;

· находят изображения, рассчитав операторную схему;

· осуществляют переход от изображений к оригиналам.