Суперпозиционный метод

Суперпозиционный метод, основанный на использовании интеграла Дюамеля, применяют для расчета переходного процесса в линейной цепи при нулевых начальных условиях, подключенной к источнику ЭДС произвольной формы.

Применение интеграла Дюамеля основано на использовании переходной функции(характеристики) h(t) цепи, являющейся реакцией цепи на единичный скачок напряжения, называемый единичной функцией, или функцией Хевисайда (рис. 7.23):

 

Так, при включении RL-цепи на напряжение ток плавно возрастает: ,

при этом переходная функция, имеющая смысл переходной проводимости цепи:

 

 

,

позволяет представить ток в виде

 

.

До начала воздействия при ток в цепи отсутствовал, и переходная функция . Если цепь включена на напряжение U₀ с запаздыванием , то ток в цепи возникнет с той же задержкой t и для момента может быть представлен:

 

 

.

Пусть в момент на вход пассивного линейного двухполюсника подано непрерывно изменяющееся напряжение u(t) (рис. 7.24). Заменив непрерывную функцию u(t) ступенчатой с шагом Δτ и высотой ступени

можно представить входное напряжение как совокупность последовательного вклю-чения постоянного напряжения при и элементарных скачков через интервалы со знаком плюс для возрастающей ветви и со знаком минус для убывающей ветви кри-
вой .

Замена непрерывной функции u(t) ступенчатой позволяет представить искомый ток в виде суммы реакций на все скачки напряжения. Для произвольного момента времени t составляющая тока от включения постоянного напряжения при равна , от включения скачка напряжения с задержкой t -

 

.

Учитывая составляющую тока от начального скачка и суммируя составляющие тока от всех элементарных скачков , включаемых на интервале , а затем, переходя к пределу
при , можно представить искомый ток в виде

. (7.56)

Выражение (7.56), называемое интегралом Дюамеля, позволяет вычислять входной ток при включении пассивного двухполюсника на непрерывно изменяющееся напряжение произвольной формы.

Расчет переходного процесса суперпозиционным методом производится в следующем порядке:

- определение переходной функции цепи h(t);

- нахождение производной входного сигнала u′(t);

- вычисление интеграла Дюамеля.

Сравнение методов расчета переходных процессов позволяет сделать следующие выводы:

1. Классический метод, требующий непосредственного решения дифференциального уравнения, целесообразно использовать для уравнений первого и второго порядков.

2. Операторный метод, свободный от нахождения постоянных интегрирования, удобно применять при решении уравнений третьего и более высоких порядков.

3. Метод суперпозиции целесообразен при воздействиях, изменяющихся по сложному закону.

4. Возможность экспериментального определения частотной характеристики дает преимущество частотному методу расчета сложных цепей.

 

 

7.6 Включение RL-цепи на прямоугольный импульс

Рассмотрим включение катушки индуктивности (рис. 7.25, а)
на прямоугольный импульс амплитудой U₀ и длительностью t_и
(рис. 7.25, б). Воздействующий на цепь импульс u(t) можно рассматривать как последовательное наложение ступенчатых напряжений одной амплитуды, но разной полярности. Начало действия положительной ступени примем за , а отрицательной – за . Рассматривая поэтапно переходный процесс, находим переходный ток i(t).

 

 

Классический метод

 

Во время действия импульса ( ) переходный ток i(t) соответствует току (7.11), возникающему при включении катушки индуктивности на :

,

где ; ,

и к моменту завершения импульса u(t) достигает значения

 

.

После окончания импульса u(t) при ток экспоненциально убывает во времени
(см. формулу (7.13)):

 

 

.

Таким образом, ток в цепи удовлетворяет сложной функции (рис. 7.25, в):

 

(7.57)

 

 

Операторный метод

 

Учитывая, что прямоугольный импульс представляет собой последовательность ступенчатых напряжений разной полярности, найдем их изображения по Лапласу:

 

; .

Начальные условия в цепи – нулевые, поэтому операторные изображения токов можно определить с помощью закона Ома:

 

; .

Оригиналы токов найдем по теореме разложения (7.47). Сначала определяем корни характеристического уравнения :

 

, ,

затем значения полинома и производной полинома при этих корнях: и , после чего находим токи:

 

; .

Таким образом,

 

 

 

Частотный метод

 

Спектр положительной ступени напряжения:

 

.

Спектр отрицательной ступени:

 

.

Комплексное сопротивление цепи:

 

.

Спектр составляющих тока:

 

, .

 

Воспользовавшись теоремой разложения (7.54), находим токи:

 

; ;

 

Метод суперпозиции

 

Переходная проводимость при включении цепи в момент :

 

,

и с запаздыванием на время τ

 

.

Напряжение в начальный момент , и производная напряжения в момент включения единичного скачка .

Ток в цепи во время действия импульса u(t) при :

 

.

Ток в цепи по окончании действия импульса u(t) при :

 

 

 

Контрольные вопросы

1. В чем физический смысл законов коммутации?

2. Каков порядок расчета переходных процессов классическим методом?

3. В чем физический смысл постоянной времени?

4. Как определяется принужденная составляющая переходного тока при включении катушки индуктивности на синусоидальное напряжение?

5. Из каких условий находят постоянные интегрирования?

6. Каковы условия возникновения апериодического переходного процесса?

7. Каковы условия возникновения колебательного переходного процесса?

8. Что такое декремент затухания?

9. Каков порядок расчета операторным методом?

10. Приведите операторную схему замещения емкостного элемента.

11. Перечислите варианты перехода от изображения к оригиналу.

12. Каков порядок расчета частотным методом?

13. Как находят спектр воздействия?

14. Что такое частотная характеристика цепи?

15. Как можно определить частотную характеристику?

16. Каковы условия применения суперпозиционного метода расчета переходных процессов?

17. Что такое переходная функция цепи?

 

 

8 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

8.1 Общие положения

Нелинейный элемент – это элемент, параметр которого зависит от тока или напряжения , т.е. элемент с нелинейной характеристикой:

- вольт-амперной ;

- вебер-амперной ;

- кулонвольтной .

Характеристики , , нелинейного элемента задают графически, таблицей чисел или аналитически.

По виду характеристики нелинейные элементы подразделяют на симметричные и несимметричные. Характеристика симметричного элемента удовлетворяет условию . Симметричной характеристикой обладает лампа накаливания, сопротивление которой при малых токах мало, а с ростом тока увеличивается по мере разогрева нити накаливания (рис. 8.1, а). Несимметричный элемент обладает несимметричной характеристикой. Характеристика выпрямителя, сопротивление которого мало при прямом включении и велико при обратном, приведена на рис. 8.1, б.

Нелинейные элементы подразделяют на управляемые и неуправляемые. Управляемый элемент кроме основной цепи имеет цепь управления, изменяя напряжение или ток в которой, получают семейство характеристик. Коллекторные характеристики транзистора в схеме с общим эмиттером приведены на рис. 8.1, в.

Нелинейная цепь – цепь, содержащая нелинейные элементы.

Расчет нелинейных цепей можно выполнить следующими методами:

-графически по заданной характеристике нелинейного элемента. Графический метод обладает наглядностью и достаточной точностью;

- аналитически, при этом нелинейную характеристику аппроксимируют аналитической зависимостью, которую используют при составлении уравнений по законам Кирхгофа. Получаемые в результате нелинейные дифференциальные уравнения не имеют общих методов решения. Однако удачная аппроксимация приводит к соотношениям, позволяющим анализировать режимы работы цепи. Аналитический метод громоздок;

- численно, используя ЭВМ и задавая нелинейную характеристику в виде таблицы чисел.

 

 

8.2 Параметры активных и реактивных нелинейных

элементов

 

Помимо вольт-амперной характеристики или , активное нелинейное сопротивление задают статическим и дифференциальным сопротивлениями.

Пусть рабочий режим нелинейного элемента задан рабочей точкой на характеристике (рис. 8.2). Статическое сопротивление в рабочей точке определяется отношением напряжения , измеряемого отрез-ком , к току , измеряемому отрезком , и пропорционально тангенсу угла наклона секущей, проходящей из начала координат через рабочую точку а:

 

. (8.1)

Статическое сопротивление характеризует сопротивление нелинейного элемента постоянному току, его используют в энергетических расчетах.

Дифференциальное сопротивление в точке определяется пределом отношения приращений напряжения и тока или производной от напряжения по току:

 

(8.2)

пропорционально тангенсу угла наклона касательной к характеристике в точке . Дифференциальное сопротивление характеризует сопротивление нелинейного элемента малой переменной составляющей тока, его используют в аналитических расчетах как параметр линейной аппроксимации.

За исключением отдельных точек характеристики , , на падающих участках .

Рассмотрим один из аналитических методов расчета нелинейных цепей – метод линейной аппроксимации. По этому методу характеристику аппроксимируют линейной зависимостью, в качестве которой используют касательную к характеристике в рабочей точке а. Прямая заменяет характеристику не только в точке а, но и (с погрешностью) в некоторой области вблизи нее. Такая замена позволяет в рассматриваемой области представлять пассивный нелинейный элемент в виде соединения двух линейных – активного и пассивного с параметрами, зависящими от положения рабочей точки на исходной характеристике .

Пусть нелинейный элемент задан характеристикой (рис. 8.3). Для рабочей точки напряжение нелинейного элемента можно представить линейной зависимостью

 

которой соответствует схема замещения элемента последовательным соединением дифференциального сопротивления и источника с ЭДС Е, направленной против тока.

Выразив ток нелинейного элемента

,

получим схему замещения в виде параллельного соединения сопротивления с током и источника тока , включенного встречно току I нелинейного элемента.

Рассмотренные схемы замещения нелинейного элемента справедливы лишь для рабочей точки и прилегающего к ней небольшого участка характеристики .

Индуктивный нелинейный элемент, помимо вебер-амперной характеристики , задают статической и дифференциальной индуктивностью. Статическую индуктивность определяют как отношение

 

(8.3)

Потокосцепление и дифференциальная индуктивность

(8.4)

как функции тока приведены на рис. 8.4.

Мгновенные значения напряжения u_L и тока i нелинейной катушки связаны через дифференциальную индуктивность:

. (8.5)

Емкостной нелинейный элемент, помимо кулонвольтной характеристики , задают статической и дифференциальной емкостью. Из характеристики можно найти емкости:

Статическую

(8.6)

и дифференциальную

(8.7)

 

Мгновенные значения тока и напряжения нелинейного конденсатора связаны через дифференциальную емкость:

 

. (8.8)

 

 

8.3 Нелинейные электрические цепи постоянного тока

 

Электрическое состояние нелинейных цепей постоянного тока характеризует система нелинейных алгебраических уравнений, составленных по законам Кирхгофа. Нелинейные алгебраические уравнения не имеют аналитических методов решения. В общем случае их расчет выполняют численными методами на ЭВМ.

Для простейших цепей применимы графоаналитические методы расчета.

8.3.1 Последовательное соединение нелинейных элементов

Пусть к источнику постоянной ЭДС последовательно включены два нелинейных элемента и , заданные характеристиками и (рис. 8.5). По ЭДС нужно найти ток и напряжения и на элементах.

Метод эквивалентных преобразований. Используя второй закон Кирхгофа:

 

,

построим характеристику эквивалентного элемента, сложив абсциссы характеристик и при . Из кривой по заданной ЭДС графически найдем ток , а по току и характеристикам и – напряжения и на элементах.

Метод пересечения характеристик. Предположим, что активный нелинейный двухполюсник представлен эквивалентным генератором с ЭДС и внутренним сопротивлением и нагружен (рис. 8.6). Напряжение на нагрузке, с одной стороны, равно напряжению на зажимах двухполюсника:

 

,

а с другой – определено характеристикой элемента . Построив на одном графике характеристику и нагрузочную кривую , полученную вычитанием из ЭДС абсцисс характеристики при разных значениях тока, найдем точку пересечения кривых и , определяющую рабочий режим цепи.

Если цепь содержит один нелинейный элемент (рис. 8.7), то следует представить внешнюю относительно него часть цепи в виде активного двухполюсника. Заменив двухполюсник эквивалентным генератором с ЭДС E и внутренним сопротивлением R₁, получим, что напряжение на сопротивлении , определяемое характеристикой , равно напряжению на зажимах двухполюсника:

 

.

Точка пересечения нагрузочной прямой и характеристики определяет рабочий режим цепи.

 

 

8.3.2 Параллельное соединение нелинейных элементов

 

Пусть два нелинейных элемента и с характеристиками и присоединены параллельно к источнику тока I
(рис. 8.8). Нужно найти напряжение и токи и ветвей.

Используя первый закон Кирхгофа:

 

,

построим характеристику нелинейного элемента, сложив ординаты характеристик и при . По кривой и току источника графически найдем напряжение , а по нему и характеристикам элементов и – токи и ветвей.

8.3.3 Расчет нелинейной цепи методом двух узлов

 

Пусть дана разветвленная цепь (рис. 8.9, а) с источниками ЭДС и нелинейными элементами , , с одинаковыми характеристиками (рис. 8.9, б). Нужно найти токи ветвей , , .

Для выбранных положительных направлений токов , , запишем уравнения по второму закону Кирхгофа:

 

 

Используя характеристику , построим кривые (рис. 8.9, в):

 

;

;

.

На основании первого закона Кирхгофа ( ) построим вспомогательную характеристику в результате сложения ординат кривых и при одном и том же напряжении . Ток , заданный характеристикой , согласно первому закону Кирхгофа равен: . Следовательно, ордината точки пересечения характеристики и вспомогательной кривой определяет в масштабе ток , а ее абсцисса в масштабе - напряжение (точка с).

Прямая, проведенная через точку параллельно оси ординат, пересекает характеристики и в точках и определяющих токи и .

 

 

8.4 Магнитные цепи постоянного тока

8.4.1 Законы магнитной цепи

 

Вокруг проводника с током возникает магнитное поле. В электротехнических устройствах магнитное поле создают током намагничивающей обмотки, образуя поле так, чтобы большая часть магнитных силовых линий была сосредоточена в нужном объеме по замкнутому пути. Устройство, представляющее собой путь, вдоль которого замыкаются магнитные силовые линии, называют магнитной цепью.

Обмотку возбуждения располагают на сердечнике из ферромагнитного материала ( ), магнитное сопротивление которого много меньше магнитного сопротивления воздуха: . Основная часть потока Ф, создаваемого током намагничивающей обмотки, проходит по сердечнику. Придавая сердечнику нужную форму, обеспечивают необходимую форму силовым линиям магнитного поля. Часть потока Ф_s, замыкающегося по воздушным путям, называют потоком рассеяния (от англ. scattering – рассеяние). Как правило, поток рассеяния мал ( ), и им пренебрегают. Магнитная цепь может состоять из участков разного материала и сечения.

Расчет магнитных цепей основан на двух законах:

1. Принципнепрерывности магнитного потока

 

 

,

при охвате поверхностью нескольких сечений магнитопровода (рис. 8.10) принимающий вид

 

 

, (8.9)

является первым законом Кирхгофадля магнитных цепей.

2. Закон полного тока:

, (8.10)

где F – намагничивающая или магнитодвижущаясила (МДС) контура, равная полному току, проходящему сквозь поверхность, ограниченную контуром магнитной цепи.

Интеграл по контуру интегрирования разбивают на участки одного сечения и материала, в пределах каждого и . Выбрав контур интегрирования по средней силовой линии поля, получим вместо (8.10)

 

, (8.11)

где – магнитное напряжение -го участка цепи; – сумма МДС отдельных участков цепи, составляющая МДС контура.

Закон полного тока является вторым законом Кирхгофа для магнитной цепи.

Рассмотрим неразветвленную цепь, состоящую из двух участков разного сечения S₁, S₂ и материала μ₁, μ₂ с индукцией В₁, В₂ и напряженностью Н₁, Н₂ магнитного поля и намагничивающей обмотки , возбуждающей поток Ф в цепи (рис. 8.11).

Пренебрегая потоком рассеяния ( ), можно считать поток на участках цепи одним и тем же:

 

.

Из закона полного тока для контура средней силовой линии следует:

 

.

После деления обеих частей равенства на поток Ф получим:

 

,

где , – магнитное сопротивление k-го участка, имеющее размерность (А/Вб = А/В·с = См/с =1/Гн).

Магнитный поток прямо пропорционален МДС и обратно пропорционален магнитному сопротивлению цепи:

 

или в общем виде:

 

, (8.12)

что является законом Ома для магнитной цепи.

Неразветвленную магнитную цепь (см. рис. 8.11), для которой справедливы законы Ома и Кирхгофа, можно представить эквивалентной схемой замещения (рис. 8.12).

Между электрическими и магнитными цепями существует формальная аналогия (в скобках указаны единицы измерения):

· МДС (А) аналогична ЭДС (В);

· магнитный поток (Вб) – току (А);

· магнитное сопротивление (1/Гн) – сопротивлению электрическому (Ом), где ;

· магнитное напряжение (А) – напряжению электрическому (В);

· законы магнитной цепи – законам цепи электрической.

При рассмотрении магнитных цепей решаются два вида задач:

1. Прямая задача, в которой по заданным потоку Ф, геометрии цепи и материалу участков требуется найти МДС .

2. Обратная задача, в которой по заданным МДС , геометрии цепи и материалу участков требуется найти поток Ф.

 

 

8.4.2 Расчет неразветвленной магнитной цепи

 

Рассмотрим неразветвленную цепь, включающую П-образный сердечник электромагнита из листовой электротехнической стали и литую стальную пластину, замыкающую его концы при наличии воздушного зазора между ними (рис. 8.13, а). По известной геометрии, материалу цепи и числу витков обмотки необходимо найти намагничивающий ток I, т.е. решить прямую задачу.

Разбив магнитную цепь на участки одного сечения и материала, можно увидеть, что при индукция B_k и напряженность H_k магнитного поля на разных участках различны. Магнитную цепь, состоящую из трех участков , и , два из которых нелинейные, представим схемой замещения (рис. 8.13, б).

Нелинейные участки цепи заданы кривыми намагничивания (рис. 8.14). Считая поток Ф однородным по сечению, найдем его плотно