Включение RL-цепи на синусоидальное напряжение

 

При включении RL-цепи на напряжение порядок расчета остается прежним.

Из второго закона Кирхгофа для цепи после коммутации получаем уравнение переходного тока

 

,

общее решение которого ищем в виде суммы двух составляющих:

 

.

Принужденную составляющую определяем из конечного установившегося режима ( ). При синусоидальном напряжении ток установившегося режима также синусоидален и может быть рассчитан символическим методом:

 

,

 

.

Свободную составляющую , определяемую внутренними запасами энергии, находим из решения однородного уравнения

 

.

Решение этого уравнения не зависит от внешнего источника энергии и будет таким же, как и в предыдущем случае:

 

.

В переходном токе

 

неизвестна постоянная интегрирования А. Записав начальное условие

 

находим постоянную интегрирования:

 

Зная постоянную А, запишем свободную составляющую

 

и переходный ток для любого момента времени

 

. (7.12)

В состав переходного тока, зависящего от момента включения, входят две составляющие:

- принужденная в виде синусоиды постоянной амплитуды;

- свободная, экспоненциально убывающая во времени.

Рассмотрим включение в крайние моменты конечного установившегося режима:

- нулятока , возникающего при

(запасенная энергия , поэтому , );

- максимуматока , возникающего при

(запасенная энергия максимальна, поэтому максимальны амплитуды свободной составляющей и тока переходного процесса).

Кривая переходного тока при и большой постоянной приведена на рис. 7.4.

В течение первой половины периода после включения ток , определяющий запасы энергии в цепи, плавно изменяясь, достигает почти удвоенной амплитуды конечного установившегося режима, но двукратную величину превысить не может. С уменьшением постоянной време-ни t амплитуда переходного тока уме-ньшается.

 

7.2.3 Короткое замыкание RL-цепи

При замыкании катушки (рис. 7.5) переходный ток удовлетворяет однородному уравнению:

 

.

Принужденная составляющая, определяемая при , отсутствует:

 

,

и переходный ток содержит только свободную составляющую, не зависящую от внешнего напряжения: .

При в цепи протекал ток , cледова-тельно, постоянную интегрирования можно найти из уравнения

 

.

 

Зная постоянную А, находим переходный ток

 

(7.13)

и напряжение на индуктивности

 

.

Кривые и представлены на рис. 7.6.

Ток в катушке, определяющий запасы энергии магнитного поля, плавно затухает от начального значения I₀ до нуля. Напряжение , обеспечивая выполнение второго закона Кирхгофа, в момент коммутации возрастает скачком до максимума и далее затухает по экспоненте.

Энергия , запасенная до коммутации в магнитном поле катушки, превращается в тепло за время переходного процесса:

 

.

 

 

7.2.4 Включение RС-цепи на постоянное напряжение

 

Переходный процесс в RC-цепи (рис. 7.7) рассмотрим применительно к напряжению на емкости , определяющему запасы энергии электрического поля.

Из второго закона Кирхгофа для цепи после коммутации получаем уравнение для переходного напряжения:

,

так как . Это – дифференциальное уравнение первого порядка, что связано с наличием в описываемой им цепи только одного элемента, способного накапливать энергию.

Общее решение неоднородного уравнения состоит из суммы принужденной и свободной составляющих:

 

.

Принужденную составляющую определяем из конечного установившегося режима ( ):

 

;

свободную - из решения однородного уравнения:

 

.

 

Свободная составляющая содержит одно слагаемое:

 

где - корень характеристического уравнения

 

,

равный:

,

где α – коэффициент затухания.

Корню p соответствует постоянная времени переходного процесса

 

.

 

Выразив свободную составляющую через постоянную t :

 

,

 

представим переходное напряжение в виде

 

.

 

Из начальных условий (конденсатор не был заряжен)

 

 

находим постоянную интегрирования: .

Зная постоянную А, представим в окончательном виде свободную составляющую

 

и переходное напряжение

 

. (7.14)

Переходное напряжение и его составляющие приведены на
рис. 7.8.

Из графика переходного процесса следует, что напряжение u_C,определяющее запасы энергии электрического поля, изменяется плавно от нуля до максимума, так же как и переходный ток i_L(t), определяющий запасы энергии магнитного поля в RL-цепи при нулевых начальных условиях.

Ток в RC-цепи не связан с запасами энергии и в момент коммутации возрастает скачком до максимума I₀, а затем экспоненциально затухает во времени до нуля:

 

.

 

Переходное напряжение на активном сопротивлении u_R(t) повторяет кривую тока i(t) (рис. 7.9).

 

 

7.2.5 Включение RС-цепи на синусоидальное напряжение

 

Переходный процесс в RC-цепи переменного тока зависит от момента включения. Пусть незаряженный конденсатор при включается на напряжение

 

.

Из второго закона Кирхгофа для цепи после коммутации получаем уравнение для переходного напряжения:

 

.

Общее решение неоднородного уравнения состоит из суммы двух слагаемых:

 

.

Принужденную составляющую определяем из расчета цепи в конечном режиме ( ) символическим методом:

 

где

 

Свободную составляющую находим из решения однородного уравнения

 

,

ее вид не зависит от внешнего напряжения:

 

.

 

В переходном напряжении

 

 

неизвестна постоянная А. Записав начальное условие

 

,

 

находим постоянную интегрирования:

 

.

 

Зная постоянную А, можно записать свободную составляющую

 

 

и переходное напряжение для любого момента времени

 

. (7.15)

Рассмотрим включение в моменты конечного установившегося режима:

· нулянапряжения , возникающего при

(запасы энергии , поэтому и );

· максимуманапряжения , возникающего при

(запасы энергии максимальны, поэтому амплитуды свободной составляющей и напряжения u_C максимальны).

Кривая напряжения u_C(t) при и достаточно большом t приведена на рис. 7.10.

В течение первой половины периода после включения напряже-
ние u_C(t), плавно изменяясь, достигает почти удвоенной амплитуды конечного установившегося режима.

 

 

7.2.6 Короткое замыкание RC-цепи

 

Найдем переходное напряжение при замыкании в момент заряженного до напряжения конденсатора емкостью С
(рис. 7.11).

Переходное напряжение после коммутации удовлетворяет уравнению

 

.

 

Принужденную составляющую определяем при :

 

.

 

Переходное напряжение совпадает со свободной составляющей:

 

.

Из начального условия находим:

постоянную интегрирования

 

;

переходное напряжение

 

(7.16)

разрядный ток

 

 

Кривые и представлены на рис. 7.12.

Напряжение на емкости, определяющее запасы энергии в цепи, плавно уменьшается от начального значения U₀ до 0. Разрядный ток в момент коммутации возрастает скачком до максимума и затем экспоненциально затухает.

Энергия , запасенная в электрическом поле до коммутации, за время переходного процесса превращается в тепло:

 

.