Вычисление длин дуг плоских кривых

 

Литература: [3], гл. XII, § 3

[5], Ч.2, гл. 10, § 10.5

 

Если кривая y = f (x) на отрезке [a, b] является гладкой (т.е. производная ─ непрерывная функция), то длина дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами x = a и x = b, вычисляется по формуле

.

В том случае, когда кривая задана уравнениями в параметрической форме ( ─ непрерывно-дифференцируемые функции), длина дуги кривой, соответствующей монотонному изменению параметра t от α до β, вычисляется по формуле

.

Если, наконец, кривая задана уравнением в полярных координатах , то длина дуги кривой при изменении полярного угла от до , находится по формуле

.

Примеры. Найти длину дуги:

1) цепной линии от x = 0 до x = 2;

2) астроиды ;

3) кардиоиды .

Решение. 1) Дифференцируя, получаем , тогда

.

2) В силу симметрии астроиды относительно координатных осей достаточно найти длину одной четверти всей кривой и результат умножить на 4. При этом параметр t будет изменяться от 0 до .

x

y

-a

-a

a

a

Находим и :

, .

Тогда

.

Получаем

.

3) Так как кардиоида симметрична относительно полярной оси, то вычислим длину половины ее дуги (полярный угол φ изменяется от 0 до π), а затем умножим на 2. Найдем . Тогда

.

Теперь находим

.

 

Вычисление объемов тел вращения

 

Литература: [3], гл. XII, §§ 4, 5

[5], Ч.2, гл. 10, § 10.4

y=f (x)

x

b

y

a

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f (x), осью абсцисс и двумя прямыми x = a, x = b (a < b), находится по формуле

x = g (y)

x

y

d

c

.

 

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой x = g (y), осью ординат и двумя прямыми y = c и y = d, вычисляется по формуле

.

Если кривая задана параметрическими уравнениями , то формулы для вычисления объема тела вращения принимают вид

и .

Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением эллипса : 1) вокруг оси Ox, 2) вокруг оси Oy.

Решение.

1) ;

2) .

 

Вычисление площадей поверхностей тел вращения

 

Литература: [3], гл. XII, § 6

[5], Ч.2, гл. 10, § 10.6

 

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги гладкой кривой y = f (x) между точками с абсциссами x = a и x = b, вычисляется по формуле

.

Если кривая задана параметрическими уравнениями , то формула для вычисления площади поверхности вращения принимает вид

.

Пример. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Ox одной арки циклоиды

Находим . Подставляем полученные выражения в формулу для и, учитывая, что параметр t изменяется от 0 до 2π, получим:

.

 

2πa

y

x