Производные высших порядков. Литература: [5], Ч.1, гл

Литература: [5], Ч.1, гл. 5, § 5.4

Производной второго порядка (второй производной) функции y = f (x) называется производная от ее производной.

Вторая производная обозначается или .

Если ─ закон прямолинейного движения точки, то вторая производная пути по времени есть ускорение этого движения. В этом заключается механический смысл второй производной.

Аналогично, производной третьего порядка функции y = f (x) называется производная от производной второго порядка: . Вообще, производная n-го порядка от функции y = f (x) называется производная от производной(n-1)-го порядка: .

Производные высших порядков (вторая, третья и т.д.) вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Пример 1.. Найти , если .

Решение. Применяя последовательно правила дифференцирования суммы и произведения, а также правило дифференцирования сложной функции, найдем первую производную заданной функции:

.

Дифференцируя первую производную, найдем вторую производную заданной функции: .

Если функция задана параметрически , то производные , , … вычисляются по формулам:

, , и т.д.

Производную второго порядка функции, заданной параметрически, можно также вычислить по формуле: .

Пример 2. Найти и , если функция задана параметрически

Решение. Имеем

,

.

Покажем на примере способ нахождения производных высших порядков от функций, заданных неявно.

Пример 3. Найти вторую производную функции , заданной неявно уравнением .

Решение. Дифференцируя уравнение по x, получим:

.

Продифференцировав равенство по x и разрешив его относительно , получим:

.

Подставив уже найденное значение в выражение для второй производной, выразим через x и y:

.

Дифференциал функции

Литература: [5], Ч.1, гл. 5, §§ 5.3, 5.4

Пусть функция y = f (x) дифференцируема на отрезке [a‚ b]. Производная этой функции в некоторой точке x отрезка [a‚ b] определяется равенством .

На основании свойства функции, имеющей конечный предел, имеем , где ─ бесконечно малая более высокого порядка, чем , т.е. .

Тогда

или .

Таким образом, приращение функции представлено в виде суммы двух слагаемых, одно из которых линейное относительно и является главной частью приращения функции, если , а второе ─ бесконечно малая более высокого порядка малости по сравнению с .

Дифференциалом(первого порядка) функции y = f (x) называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента .

Дифференциал аргумента равен приращению аргумента

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента: .

Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Основные свойства дифференциала:

1) , где ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Последнее свойство называется свойством инвариантности формы первого дифференциала, здесь u ─ не независимая переменная, а дифференцируемая функция.

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Дифференциалом второго порядка функции y = f (x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка: Аналогично определяется дифференциал третьего порядка: Вообще,

Если y = f (x) и x − независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам

, , … , .

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение. .