Основные правила дифференцирования

Теорема 1. Если функции и дифференцируемы в данной точке, то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:

.

Формула обобщается на случай любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2. Если функции и дифференцируемы в данной точке х, то в этой же точке дифференцируемо и их произведение, при этом:

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

, где .

Теорема 3. Если в данной точке х функции и дифференцируемы и , то в той же точке дифференцируемо и их частное, причем

.

Обратная функция и ее производная

Рассмотрим функцию y = f (x) с областью определения (a, b) и множеством значений (c, d). Пусть эта функция такова, что всякая прямая, проходящая через точку интервала (c, d) параллельно оси Ох, пересекает ее график только в одной точке, т.е. уравнение y = f (x) для каждого y (c, d) определяет единственное значение x (a, b). В этом случае каждому значению y (c, d) соответствует единственное значение x (a, b), т.е. на интервале (c, d) задана функция, множество значений которой есть интервал (a, b). Эта функция называется обратной по отношению к функции y = f (x) и обозначается . Очевидно, что для функции обратной является функция . Поэтому обе эти функции называются взаимно обратными.

Теорема. Если функция y = f (x) монотонна и дифференцируема в некотором интервале и имеет в точке x этого интервала производную , не равную нулю, то обратная функция в соответствующей точке y имеет производную, причем или иначе .

Производная сложной функции

Если и , то есть сложная функция независимого аргумента x с промежуточным аргументом u.

Теорема. Если имеет производную в точке x, а функция имеет производную в соответствующей точке u, то сложная функция в данной точке x имеет производную , которая находится по следующей формуле .

Часто пользуются следующей формулировкой этой теоремы: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по независимому аргументу.

Сложная функция может быть составлена не из двух функций, а из большого их числа. В таких случаях теорема применяется последовательно несколько раз.

В частности, если функция такова, что , , , то производная находится по формуле .

Производные основных элементарных функций.

Таблица производных

Используя определение производной, можно найти производные основных элементарных функций.

1. Производная степенной функции .

2. Производная показательной функции .

В частности, .

3. Производная логарифмической функции , , . В частности, .

4. Производные тригонометрических функций , , , .

Найдем, например, производную функции . По определению производной имеем:

.

Производную функции можно найти по правилу дифференцирования частного двух функций:

.

5. Производные обратных тригонометрических функций , .

Найдем, например, производную функции . Функция , обратная к функции , . По правилу дифференцирования обратной функции . На интервале имеем .

Запишем таблицу производных для где .

1.	8.
2.	9.
3.	10.
4.	11.
5.	12.
6.	13.
7.	14.

Применяя формулы и правила дифференцирования, найдем производные следующих функций:

1) .

Применим правило дифференцирования произведения двух функций:

.

2) .

Применим правило дифференцирования частного двух функций:

.

3) .

Применим правило дифференцирования сложной функции:

.