Нахождение экстремумов функции

Литература: [3], гл. V, § 3

[5], Ч.1, гл. 6, § 6.3

Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x), если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x ≠ x₀ из этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f (x₀) (f (x) > f (x₀)).

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках ─ экстремумами (максимумами и минимумами) функции.

Необходимый признак существования экстремума функции: если непрерывная функция имеет в точке x₀ экстремум, то ее производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.

Первый достаточный признак существования экстремума: если непрерывная функция y = f (x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀ при переходе через эту точку (слева направо) производная меняет свой знак плюса на минус, то x₀ является точкой максимума, если знак меняется с минуса на плюс, то точка x₀ ─ точка минимума. Если знак производной не меняется, то x₀ не является точкой экстремума.

Пример 1. Найти точки экстремума функции

.

Решение. Область определения функции: .

Находим производную функции: .

Находим критические точки: не существует при , при . Критические точки и разбивают область определения функции на интервалы (-∞, 0), (0, 1), (1, +∞).

Определяем знаки производной на каждом из интервалов:

В критической точке производная меняет знак с «+» на «‑». Значит, функция имеет в точке максимум. В критической точке знак производной меняется с «‑» на «+». Следовательно, является точкой минимума функции.

Второй достаточный признак существования экстремума: если в точке x₀ первая производная функции y = f (x) равна нулю, т.е. , а вторая производная функции существует и отлична от нуля, т.е. , то точка x₀ является точкой экстремума. При в точке x₀ функция имеет максимум, а при ─ минимум. В случае, когда данный признак не дает ответа на вопрос о существовании экстремума.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию , пользуясь вторым достаточным признаком существования экстремума.

Решение. Область определения функции: .

Находим первую производную функции: .

при , откуда и .

не существует при .

Таким образом, данная функция имеет только одну критическую точку , поскольку точки и не входят в область определения функции .

Находим вторую производную функции: . Вычисляем ее значение в критической точке: . Значит, в точке функция имеет минимум: .