Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости кривой. Точки перегиба

 

Литература: [3], гл. V, § 9

[5], Ч.1, гл. 6, § 6.4

 

Кривая называется выпуклой в интервале (а‚b), если все точки кривой лежат не выше любой ее касательной в этом интервале. Кривая называется вогнутой в интервале (а‚b), если ее точки лежат не ниже любой ее касательной в этом интервале (рис. 1.6).

Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости используется вторая производная функции.

Теорема (достаточный признак выпуклости (вогнутости) кривой): если во всех точках некоторого интервала вторая производная функции y = f (x) отрицательна (положительна), то кривая, описываемая уравнением y = f (x), в этом интервале выпуклая (вогнутая).

a

y

b

x

выпуклая кривая

О

О

вогнутая кривая

a

y

b

x

Рис. 1.6

 

Точка кривой М₀(x₀, f (x₀)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба): если в точке x₀ вторая производная функции y = f (x) равна нулю или не существует и при переходе через эту точку меняет знак, то точка с абсциссой x = x₀ является точкой перегиба графика функции.

Пример. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой .

Решение. Область определения функции: . Находим первую и вторую производные функции:

, .

Обе производные существуют при любых значениях x. Приравняв вторую производную к нулю, находим: x₀ = 2.

Точка x₀ = 2 разбивает область определения функции на интервалы (-∞, 2) и (2, +∞).

Составим таблицу знаков второй производной и поведения функции:

 

x	(-∞, 2)		(2, +∞)
	−		+
y	Ç выпуклая		È вогнутая

 

Знак второй производной меняется в точке x₀ = 2. Значит, точка кривой является точкой перегиба. Слева от этой точки кривая выпуклая (так как ), справа ─ вогнутая (так как ).

Итак, интервал выпуклости (-∞, 2), вогнутости (2, +∞).

 

Асимптоты кривой

 

Литература: [3], гл. V, § 10

[5], Ч.1, гл. 6, § 6.5

 

Прямая называется асимптотой кривой y = f (x), если расстояние от точки М кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки М вдоль кривой в бесконечность от начала координат (рис. 1.7).

 

y

x

y = f (x)

асимптота

M

О

Рис. 1.7

 

Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Вертикальная асимптота имеет уравнение вида x = x₀ и является прямой, параллельной оси Оy. Наклонная асимптота имеет уравнение вида y = k x + b. В частном случае при k = 0 асимптота называется горизонтальной, так как ее уравнение y = b есть прямая, параллельная оси Ох.

 

x

y

x0

О

y = f (x)

Рис. 1.8

Вертикальные асимптоты.

Пусть дана кривая y = f (x). Для нахождения вертикальной асимптоты этой кривой находят точки ее бесконечного разрыва (точки разрыва второго рода).

Если, например,

и ,

то прямая x = x₀ ─ вертикальная асимптота кривой y = f (x) (рис. 1.8).

 

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Пусть задана кривая y = f (x). Для нахождения наклонной асимптоты, уравнение которой y = k x + b, находят коэффициенты k и b, вычисляя пределы: , . Эти пределы вычисляются отдельно для случаев и . Если хотя бы один из пределов для вычисления k и b равен ∞ или не существует, то кривая наклонных и горизонтальных асимптот не имеет.

В частном случае, когда k = 0, а b ─ конечное число, кривая имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой y = b.

Пример. Найти асимптоты кривой .

Решение. Функция определена на всем множестве действительных чисел R, кроме точки x = 1. Определим характер разрыва, для чего вычислим пределы функции при x → 1 слева (x < 1) и справа (x > 1):

, .

Так как один из пределов бесконечен, то x = 1 является точкой разрыва второго рода, и, следовательно, кривая имеет вертикальную асимптоту x = 1.

Определим, имеет ли кривая наклонную или горизонтальную асимптоту. Для этого вычисляем соответствующие пределы:

O

x

y

y = 1

, Уравнение асимптоты y = k x + b принимает вид y = 1 (горизонтальная асимптота).

Рис. 1.9

Схематический график функции представлен на рис. 1.9.