Линии на плоскости и их уравнения

Линию на плоскости будем рассматривать как геометрическое место точек M(x, y), удовлетворяющих некоторому условию.

Если в декартовой системе координат записать свойство, которым обладают все точки линии, связав координаты и некоторые константы, можно получить уравнение вида: F(x, y) = 0 или .

Пример. Написать уравнение окружности с центром в точке C(x₀, y₀) и радиуса R.

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от точки С. Возьмем точку М с текущими координатами. Тогда |CM| = R или или .

Если центр окружности находится в начале координат, то x² + y² = R².

Не всякое уравнение вида F(x, y) = 0 определяет линию в указанном смысле: x² + y² = 0 – точка.

Прямая на плоскости.

Прямые на данной плоскости являются частным случаем прямых в пространстве. Поэтому их уравнения можно получить из соответствующих уравнений прямых в пространстве.

Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Любую прямую в плоскости XOY можно задать как линию пересечения плоскости Ax + By + Cz + D = 0 с плоскостью XOY: z = 0.

- прямая линия в плоскости XOY: Ax + By + D = 0.

Полученное уравнение называется общим уравнением прямой. В дальнейшем его будем записывать в виде:

Ax + By + C = 0 (1)

1) Пусть , тогда или y = kx + b (2) – уравнение прямой с угловым коэффициентом. выясним геометрический смысл k и b.

Положим x = 0. Тогда y = b – начальная ордината прямой.

Положим y = 0. Тогда ; - угловой коэффициент прямой.

Частные случаи: а) b = 0, y=kx – прямая проходит через начало координат; б) k = 0, y = b – прямая параллельна оси ОХ; b) если B = 0, то Ax + C = 0, ,

x = a

Это - геометрическое место точек с постоянными абсциссами, равными a, т.е. прямая перпендикулярна оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках.

Пусть дано общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0, причем . Разделим обе его части на –C:

или (3),

где ; . Это уравнение прямой в отрезках. Числа a и b – величины отрезков, отсекаемых на осях координат.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом.

Пусть дана точка M₀(x₀, y₀), лежащая на прямой L и угловой коэффициент k. Запишем уравнение:

y = kx + b (*).

Здесь b неизвестно. Найдем его, учитывая, что M₀ L:

y₀ = kx₀ + b (**).

Вычтем почленно из (1) (2):

y – y₀ = k(x – x₀) (4).

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Уравнение прямой, проходящие через две данные точки.

Пусть даны две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂) L. Запишем уравнение (4) в виде: y – y₁ = k(x – x₁). Т.к. M₂ L, то y₂ – y₁ = k(x₂ – x₁). Поделим почленно:

(5),

.

Это уравнение имеет смысл, если , . Если x₁ = x₂, то M₁(x₁, y₁) и M₂(x₁, y₂). Если у₂ = у₁, то М₁(х₁, у₁); М₂(х₂, у₁).

Т.о., если один из знаменателей в (5) обращается в нуль, надо приравнять нулю соответствующий числитель.

Пример. М₁(3, 1) и М₂(-1, 4). Написать уравнение прямой, проходящей через эти точки. Найти k.

, 3х + 4у – 13 = 0, ; .