Свойства скалярного произведения

 

1. Скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей (переместительное свойство):

.

2. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения:

.

3. Скалярное произведение двух векторов подчиняется распределительному закону:

.

4. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны или один из них равен нулю.

5. , т.е. - скалярный квадрат.

Таким образом

 

Скалярное произведение в координатной форме.

 

Пусть и .

Тогда

(2)

Скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений одноименных координат.

Пример. .

 

Модуль вектора. Расстояние между двумя точками.

 

По свойству (5): , но и

(3)

Расстояние между двумя точками А и В равно

 

Угол между двумя векторами. Условие перпендикулярности двух векторов.

 

Из определения скалярного произведения следует: . По формулам (2) и (3) имеем:

Условие перпендикулярности двух векторов в координатной форме имеет вид:

 

 

Векторное произведение двух векторов.

 

Скалярное произведение двух векторов - число, а

Векторное произведение или - вектор.

Векторным произведением двух векторов и , взятых в определенном порядке, называется третий вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ; направлен вектор перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , причем в ту сторону, откуда кратчайший поворот от к виден против часовой стрелки.

Обозначается: или .

Модуль векторного произведения:

 

 

Механический смысл векторного произведения.

 

.Поэтому , .

Момент силы, приложенной к точке А есть векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы и силы . Направлен вектор вдоль оси вращения.

 

 

Свойства векторного произведения.

 

1. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

2. При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный:

(видно из чертежа)

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения.

a) площади параллелограммов слева и справа равны.

b) Направление векторов и совпадают.

4. Имеет место распределительный закон:

(без доказательства)

5. , т.к. ц=0.

 

Векторное произведение в координатной форме.

 

Пусть и

 

Этот определитель – символический, т.к. первая строка состоит не из чисел, а из векторов.

Пример. Даны три точки: А (2, -1, 0); В (3, 1, 2) и С (-1, 0, 1). Найти площадь ДАВС.

1. Найти длины , и и воспользоваться формулой Герона.

2. .