Смешанное произведение трех векторов

Рассмотрим три вектора . Их можно перемножить между собой различными способами:

1. - вектор, коллинеарный вектору .

2. - двойное векторное произведение.

3. - скаляр (векторно-скалярное произведение)

Смешанным произведением трех векторов (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора на вектор .

- число!

Геометрический смысл смешанного произведения.

Смешанное произведение имеет простой геометрический смысл. Приведем векторы , и к общему началу и построим на них параллелепипед; пусть . Тогда

Полученный вектор умножим скалярно на :

Но ; т.о.,

Смешанное произведение трех векторов равно по модулю объему параллелепипеда, построенному на векторах , и . Знак этого произведения положителен, если тройка векторов , и расположена так же, как векторы , и , и отрицателен в противном случае.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов – левая.

Если в данной тройке поменять местами любые два вектора, то характер ориентации изменится.

Замечание: если тройка правая ( и образуют острый угол) и , если тройка левая ( и образуют тупой угол).

Свойства смешанного произведения.

1. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

При перестановке соседних множителей местами объем параллелепипеда не изменяется, а изменяется характер ориентации тройки.

2. Смешанное произведение не изменяется при циклической перестановке сомножителей:

При этом не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация тройки векторов.

3. Смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

, ( , объем параллелепипеда равен нулю). Это необходимое и достаточное условие компланарности.

Смешанное произведение в координатной форме.

Пусть ; и .

Смешанное произведение трех векторов, взятых в определенном порядке, равно определителю 3 порядка, составленному из координат сомножителей, причем порядок строк соответствует порядку расположения сомножителей:

В смешанном произведении трех векторов важно сохранить последовательность записи векторов, но безразлично, где поставить знак векторного, а где скалярного произведения.

Условие компланарности трех векторов в координатной форме имеет вид:

Пример. Даны точки: A(-1,2,4); B(6,1,-3); C(4,5,-8) и D(4,2,1). Найти объем пирамиды.

, ; и

ЛЕКЦИЯ №4 Элементы аналитической геометрии.