Прямоугольная система координат

Аналитическое описание векторов и точек пространства осуществляется при помощи чисел.

Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат x, y, z, т.е. три взаимно перпендикулярные прямые (оси), проходящие через точку О, называемую началом. Прямые направлены и называются осями координат x, y, z. Предполагается, что выбрана единица масштаба.

Направление осей координат зададим единичными векторами (ортами) , , .

Возьмем произвольную точку М. Вектор называется радиус-вектором точки М: . Радиус-вектор, в свою очередь, определяет некоторый вектор , который можно переносить в пространстве параллельно самому себе. Найдем проекции вектора на оси координат: очевидно, что

Такая картинка называется разложением вектора по трем координатным осям. Проекции радиус вектора на координатные оси обозначим через x, y, z.

Координатами точки М в пространстве называются проекции вектора на соответствующие координатные оси: M (x, y, z).

(*) или .

Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.

Равенство (*) – основное равенство векторной алгебры. Его называют разложением вектора по координатным осям (по базису , , ).

Действия над векторами в проекциях.

Пусть даны два радиус-вектора в разложении по координатным осям:

или

или

1. два радиус-вектора равны тогда и только тогда, когда равны их проекции:

2. Чтобы умножить радиус-вектор на число, надо каждую из его проекций умножить на это число:

или .

3. Чтобы сложить (вычесть) два радиус-вектора, надо сложить (вычесть) их одноименные координаты.

или .

Координаты вектора .

Пусть даны координаты точек и . Найдем координаты вектора . Рассмотрим радиус-векторы: и .

Очевидно, что . В координатной форме: .

Чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Обозначим: . Тогда или .

Т.к. произвольный вектор всегда можно сделать радиус-вектором, то свойства действий 1, 2, 3 остаются в силе.

Условие коллинеарности векторов в координатной форме.

Пусть и - коллинеарные векторы.

(*).

Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны:

Пример 1. , .

Пример 2. . Коллинеарны ли векторы и ?

Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

или (1)

Физический смысл. Работа при прямолинейном перемещении материальной точки на расстояние S=|MN| под действием постоянной силы F вычисляется по формуле: . Если ввести вектор перемещения , то можно записать эту формулу в виде:

.