Сложение вращательных движений, оси которых

OZ и O ₁ Z ₁ параллельны

На рис.3.5 тело T, совершающее сложное движение, – диск, свободно насаженный на вал B, который может вращаться относительно опоры вокруг оси O₁Z₁. Пусть  – угловая скорость вращения диска по отношению к системе координат OXYZ (показана только ось OZ), скрепленной с валом;  - угловая скорость вращательного движения вала B по отношению к системе O₁X₁Y₁Z₁, скрепленной с неподвижной опорой.

Теорема. При сложении вращательных движений с угловыми скоростями  и , оси которых параллельны, абсолютное движение тела будет либо мгновенно вращательным с угловой скоростью  (при ), либо мгновенно поступательным со скоростью  (при ).

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда , полагая для определенности, что оба составля-ющих вращательных движения имеют одинаковые направления (рис.3.5, 3.6). Для произвольной точки M тела T по теореме о сложении скоростей:

                  .          (3.4)

Заметим, что для точки P тела, лежащей в плоскости, проходящей через оси O₁Z и OZ, между этими осями, векторы  и  перпендикулярны этой плоскости и направлены в противоположные стороны, рис.3.6 (здесь , где p, в соответствии с  определением пере- носной скорости, – точка, жестко скрепленная с валом).

Поэтому . Следовательно, , если h₁/h₂=w₂/w₁. Значит, в теле в данный момент существует точка P, скорость которой равна нулю, а отсюда по теореме о мгновенной оси вращения (см. гл.2) следует, что:

1 - в этот момент времени существует мгновенная ось вращения тела (прямая Pl, параллельная осям O₁Z₁ и OZ);

2 - существует вектор  такой, что для любой точки M тела

                                     .                             (3.5)

Следовательно, движение тела – мгновенно вращательное с угловой скоростью . Причем из соотношения (3.4):

=

          = ,

так как сумма первых двух слагаемых определяет скорость точки P, которая равна нулю. Сравнивая это соотношение с формулой (3.5), получаем: . Утверждение теоремы доказано. Здесь , вектор  направлен по прямой Pl.

Если составляющие вращательные движения имеют противоположные направления (рис. 3.7), но , то получаем аналогично предыдущему, что точка P, имеющая нулевую скорость, лежит в той же плоскости, но не между осями O₁Z₁ и OZ, а за осью вращения составляющего движения, имеющего большую по модулю угловую скорость. На рис.3.7 для случая  точка P лежит правее оси OZ.

Повторяя все приведенные выше выкладки, получим то же утверждение теоремы. Здесь .

Рассмотрим случай  (рис.3.8). Для доказательства второго утверждения теоремы определим абсолютную скорость произвольной точки M тела, пользуясь теоремой о сложении скоростей:

.

Из этого соотношения следует, что скорости всех точек тела в данный момент времени равны между собой. Значит, по определению, абсолютное движение тела – мгновенно посту-пательное (или, по обратной теореме о поступательном движении тела, - поступательное, если скорости всех точек тела равны между собой в каждый момент времени) со скоростью . Теорема доказана.

В символьной записи:

∾  (при ); или ∾  (при ).

Замечание 4 . Принято определение: совокупность двух составляющих вращательных движений, происходящих вокруг параллельных осей с одинаковыми по модулю, но противоположными по направлению угловыми скоростями, называется парой вращений [2, 3, 10].

Плоскость, проходящую через оси этих вращательных движений называют плоскостью пары векторов , а кратчайшее расстояние между ними – плечом этой пары вектров. Таким образом, в случае пары вращений абсолютное движение тела – мгновенно поступательное (поступательное) со скоростью . Здесь в правой части – момент пары векторов . Вектор  перпендикулярен плоскости этой пары векторов: , где d – плечо пары векторов . Аналогичные (с геометричес-кой точки зрения) понятия – в статике для пары векторов сил.

Замечание 5 . Легко заметить, что справедливо и обратное утверждение: поступательное движение тела со скоростью  можно рассматривать как сложное, состоящее из двух составляющих вращательных движений с угловыми скоростями . Причем такое представление не является единственным, так как достаточно лишь выполнения условия: .

В символьной записи:

∾ , где , .