Сложение поступательного и вращательного движений

Постановка задачи. Дано: 1) движение тела T по отношению к системе координат OXYZ – вращательное с осью вращения OZ и угловой скоростью ; 2) движение подвижной системы OXYZ по отношению к системе координат O₁X₁Y₁Z₁ – поступательное со скоростью .

Определить абсолютное движение тела T (т.е. движение тела по отношению к системе O₁X₁Y₁Z₁).

Разберем отдельно возможные частные случаи.

3.4.1. Сложение поступательного и вращательного движений в случае, когда ⊥

Теорема. При сложении поступательного движения со скоростью  и вращательного движения с угловой скоростью , при условии ⊥ , абсолютное движение тела – мгновенно вращательное с угловой скоростью .

Для доказательства используем тот же метод. Найдем, пользуясь теоремой о сложении скоростей, абсолютную скорость произвольной точки M тела (рис.3.9): , где  (m - точка, жестко скрепленная с подвижной системой координат OXYZ), т.е. = , так как движение подвижной системы OXYZ относительно неподвижной системы – поступательное; . Таким образом, .

Легко заметить, что в дан-ный момент в теле существует точка P, скорость которой равна нулю. Она лежит в плоскости, проходящей через ось относительного вращательного движения OZ перпендикулярно к вектору , на расстоянии  от оси OZ справа от нее (рис.3.9). Действительно, для этой точки векторы переносной и относительной скоростей, перпендикулярные указанной плоскости (плоскость OYZ на рис.3.9), направлены в противоположные стороны и = . Значит, в данный момент существует (гл.2) мгновенная ось вращения тела (это прямая Pl, параллельная оси OZ на рис.3.9) и существует вектор , направленный вдоль мгновенной оси вращения, такой, что для любой точки M тела

                                     ,                             (3.6)

а движение тела – мгновенно вращательное с мгновенной угловой скоростью . Учитывая, что, с другой стороны,

(так как сумма двух первых слагаемых, определяющих скорость точки P, равна нулю), и сопоставляя полученный результат с соотношением (3.6), заключаем, что . Теорема доказана.

В символьной записи: ∾ , если ⊥ , где = .

Замечание 1. Справедливо и обратное утверждение: мгновенно вращательное движение тела с угловой скоростью  можно рассматривать как сложное, состоящее из двух составляющих движений – вращательного (мгновенно вращательного) и поступательного. Или в символьной записи

                ∾ , где , .        (3.7)

Точка O – произвольная точка пространства. Очевидно, что такое представление неоднозначно (рис.3.10). В учебниках такое кинематическое преобразо-вание условно называют параллель-ным переносом вектора  (анало-гично в статике: параллельный перенос вектора силы). Точку O на-зывают центром приведения.

3.4.2. Сложение поступательного и вращательного движений в случае ‖

Пусть движение твердого тела относительно основной системы O₁X₁Y₁Z₁ (рис.3.11) может быть разложено на два составляющих движения:

1) относительное вращательное (с угловой скоростью );

2) переносное поступательное (со скоростью ‖ ).

Примером такого движения является движение болта, ввинчиваемого в гайку, по отношению к ней.

При этом для произвольной точки M тела (рис.3.11) по теореме о сложении скоростей , , а . Значит, для любой точки A тела, лежащей на оси OZ,

.

Следовательно, точки A, B (и дру-гие точки тела, расположенные на оси OZ) движутся вдоль неподвижной (в основной систе-ме отсчета) прямой ll₁ (рис.3.11) и имеют в каждый момент времени геометрически равные скорости.

Такое движение тела, как известно, называют винтовым, а прямую ll₁ – осью винта. Название связано с тем, что в частном случае, когда  и  остаются постоянными, траектории точек тела, не лежащих на оси винта, - винтовые линии [3, 9, 10].

3.4.3. Сложение поступательного и вращательного движений в случае, когда угол  и a ¹ p/2

Теорема. При сложении поступательного движения со скоростью  и вращательного движения с угловой ско-ростью  при условии, что , a ¹ p/2, абсолют-ное движение тела – мгновенно винтовое.

Доказательство. Примем плоскость, проходящую через векторы , , за коорди-натную плоскость OXZ (рис.3.12). Рассмотрим точку A тела, лежащую в данный момент в плоскости OYZ на расстоянии h от оси OZ. По теореме о сложении скоростей , где ,  (a – точка подвижной системы координат OXYZ), т.е. . Раскладывая вектор  на две взаимно перпендикулярные составляющие  и  (рис.3.12), получим = + + . Здесь векторы  и  – противоположно направленные (рис.3.12), и модули их равны, если . Значит, для такой точки A в данный момент  и = ; и для любой другой точки B тела, расположенной на прямой ll₁, проведенной параллельно оси OZ через точку A, будет

                                      .                              (3.8)

Для любой точки M тела, не лежащей на этой прямой, получаем:

          = + + + = + .            (3.9)

На основании соотношений (3.8) и (3.9), используя принятое определение [8, 9], заключаем, что движение тела – мгновенно винтовое, а прямая ll₁ – мгновенная винтовая ось. Теорема доказана.

Замечание 2. Все приведенные выше теоремы остаются справедливыми и в случае сложения мгновенно поступа-тельных и мгновенно вращательных движений, так как все приведенные рассуждения и выкладки, основанные на распределении скоростей, можно полностью повторить и для случаев мгновенного распределения скоростей (как это уже отмечалось выше). Причем таким путем можно складывать любое число  составляющих движений (n ³ 2) и в любом порядке.

Таким образом, при сложении поступательных (мгновен-но поступательных) и вращательных (мгновенно вращатель-ных) движений возможен один из трех случаев: абсолютное движение тела будет или поступательным (мгновенно посту-пательным), или вращательным (мгновенно вращательным), или винтовым (мгновенно винтовым).

Например, движение свободного твердого тела – мгновенно винтовое (в общем случае), так как его можно рассматривать как сложное движение (рис.3.13), состоящее из двух составляющих:

1) относительное – сферическое (мгновенно вращатель-ное) движение с угловой ско-ростью ;

2) переносное – поступатель-ное движение со скоростью , причем , a ¹ 0, a ¹ p/2 (O – произвольная точка тела).

Замечание 3. Учитывая замеча-ние 2, приведем другое доказательство последней теоремы.

Доказательство. Разложим вектор  на две состав-ляющие:  (рис.3.14). Этим самым поступательное движение со скоростью  раскладываем на два состав-ляющих поступательных движения со скоростями  и , а задачу сложения двух состав-ляющих движений (поступа-тельного со скоростью  и вращательного с угловой ско-ростью ) заменяем задачей сложения трех движений (двух поступательных со скоростями  и  и вращательного с угловой скоростью ). Складывая далее движения со скоростями  и  ( ⊥ ) и получая при этом (по доказанному выше) мгновенно вращательное движение с угловой скоростью  (с мгновен-ной осью вращения ll₁, ), приходим к задаче сложения двух составляющих движений: поступатель-ного со скоростью  и мгновенно вращательного с угловой скоростью . А это (в соответствии с рассмотренным случаем ‖ , с учетом замечания 2 и определения [8-10]) приводит к результату: абсолютное движение тела – мгновенно винтовое с мгновенной винтовой осью ll₁, что и требовалось доказать.

Пример 3.1. Определить абсолютное движение тела, если дано: тело вращается вокруг оси OY с угловой скоростью  по отношению к раме, которая при этом сама вращается вокруг оси O₁X₁ относительно неподвижной опоры с угловой скоро-стью  (рис.3.15). Это – задача сложения двух вращательных движений, оси которых OY и O₁X₁ – скрещивающиеся прямые.

Для решения восполь-зуемся методом, изложен-ным в замечании 3.

Разложим вектор  на два составляющих вектора: = +  (рис.3.16), причем, пусть =  (для наглядности чертежа вектор  при этом перенесем в точку K, принимая ее за центр приведения, что не нарушает общности рассуждений). Это значит, что вращательное движение со скоростью  будет рассматриваться как сложное, состоящее из двух составляющих вращательных движений с угловыми скоростями  и . Этим задача о сложении двух составляющих вращательных движений с угловыми скоростями  и  заменяется задачей о сложении трех составляющих движений с угловыми скоростями ,  и . Складывая два составляющих движения с угловыми скоростями  и = , совокупность которых есть пара вращений, получим поступательное движение со скоростью ,  (рис.3.16). Теперь задача сведена к сложению поступательного движения со скоростью  и вращательного движения с угловой скоростью , причем в общем случае a ¹ 0, a ¹ p/2 ( ) (рис.3.16). Значит, абсолютное движение тела в этом случае – мгновенно-винтовое

∾ , где , .

Положение мгновенно-винтовой оси на рисунке не показано.

Замечание 4. Из приведенных замечаний следует, что при преобразовании движений можно использовать сложение и разложение движений на составляющие, причем в любом порядке, сохраняя лишь свойство эквивалентности (в указан-ном здесь смысле).

Например, приведем другое решение предыдущей задачи (пример 3.1, рис.3.15), используя параллельный перенос вектора  в соответствии с соотношением (3.7) (K – центр приведения). Получим:

                      ∾ ∾ ,            (3.10)

где ∾ ; , ; ; на рис.3.17 показаны только оси координат и векторы скоростей.

Из соотношения (3.10) следует, что задача сведена к сложению поступательного движения со скоростью  и вращательного с угловой скоро-стью . Абсолютное движение тела – мгновенно винтовое, как и было показано выше.