Смешанное произведение для векторов, заданных в координатной форме

Для векторов

смешанное произведение определяется выражением

Откуда

Условие компланарности для векторов, заданных в координатной форме

Пример 29 (вычисление объема пирамиды)

Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A(2; 2; 2), B(4; 3; 3), C(4; 5; 4) и D(5; 5; 6).

Решение

Идея задачи основана на том факте, что объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, а потому алгоритм решения

- находим векторы AB, AC и AD;

- находим смешанное произведение найденных векторов (это будет объем параллелелепипеда);

- находим 1/6 от найденного объема – это и будет искомый объем.

Шаг 1

Находим векторы AB, AC и AD

Шаг 2

Вычисляем объем параллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD

Шаг 3

Вычисляем V_{пирамид}. С учетом того, что  получаем

Ответ

Объем пирамиды ABCD равен

УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Поверхность

Поверхность, определенная некоторым уравнением в данной системе координат есть геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению F(x; y; z) = 0.

Линия в пространстве

Если уравнения F(x; y; z) = 0 и Ф (x; y; z) = 0 определяют некоторую поверхность, то линия L (x; y; z) = 0 может быть определена как геометрическое место точек общих для обеих поверхностей (линия пересечения поверхностей)

.

Плоскость, как поверхность первого порядка

Существует, как минимум, три определения плоскости:

1) Плоскость есть поверхность, которая полностью каждую прямую, соединяющую любые две ее точки.

2) Плоскость есть множество точек пространства, равноудаленных от данных двух точек.

А теперь об одной из форм уравнения плоскости.

Во-первых, со школьных времен известно; «любые не совпадающие и не лежащие на одной прямой три точки определяют плоскость, причем единственную». Не случайно абсолютно устойчив (т.е. «не качается») стул на трех ножках и не устойчив («качается») стул на двух и более чем на трех ножках. Во-вторых, вектор нормали к плоскости ориентирует ее в пространстве (см. Рис.31)

Рис.31

Пусть искомая плоскость π проходит через точку М₀ перпендикулярно вектору , тогда

- во-первых, вектор  есть результат векторного произведения вектора М₀М₂ на вектор М₀М₁

- во-вторых, вектор  перпендикулярен и вектору М₀М₂, и вектору М₁М₂. Откуда, из условия ортогональности векторов получаем, что скалярное произведение  на вектор М₀М₂ ( или на вектор М₀М₁) равно нулю. Если точка М₂ имеет координаты (x; y; z), то скалярное произведение вектора  на вектор М₀М₂ должно быть равно нулю. С учетом того, что вектор М₀М₂ определяется как

получаем, что

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору