Пример 23 (о количестве сырья, необходимого для выпуска продукции)

Предположим, что некоторое сырье используется для производства n видов продукции так, что для выпуска продукции i-го вида требуется m_i единиц данного сырья. Найти полную потребность q предприятия в сырье в сырье данного вида.

Решение

Сформируем два вектора:

- вектор M = (m₁, m₂, … , m_n) – вектор норм расхода на каждый вид продукции;

- вектор P = (p₁, p₂, … , p_n) – вектор-план выпуска продукции.

Тогда q определится как скалярное произведение M∙P.

Ответ

Полная потребность производства в сырье данного вида определится как

Геометрическая интерпретация векторов

Ортононормированный базис в ПДСК

Если заданы векторы такие, что

-

- все три имеют общим началом начало координат;

- каждый из векторов сонаправлен -

- (см. Рис.24)

Рис.24

Теперь понятно, что значит «ортонормированный»:

- «орто» - все три вектора взаимно перпендикулярны или, что тоже самое, ортогональны;

- «нормированный» - все они «нормированы на единицу», т.е. имеют одинаковую, равную единице длину.    

А вот «базис» означает то, что любой вектор может быть представлен в виде суммы проекций на соответствующие оси, т.е. может быть произведено разложение вектора по ортонормированному базису.

Разложение вектора по ортонормированному базису

Любой вектор в ПДСК может быть разложен на сумму его проекций на оси координат:

где a_x, a_y, a_z – величины проекций вектора  на соответствующие оси координат. Уж, коль скоро, речь идет о «величине», то она, как и величина отрезка, может быть и положительной и отрицательной. Наряду с термином «величина проекции» используется и термин «координата вектора». Второй термин вполне приемлем, но, в отличии от первого часто создает путаницу. Разберемся с этой путаницей раз и (мы надеемся!) навсегда.

Нахождение координат вектора

Найти координаты вектора , если M₁(x₁; y₁; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂). Для того, что бы найти величину проекции на ось необходимо вычесть из координат конца координаты начала вектора. В нашем случае

Нагляднее всего это продемонстрировать с вектором на плоскости.

Пример 24(координаты вектора на плоскости)

Найти координаты вектора , если он имеет своим началом точку М₁, а концом точку М₂, если он изображен на Рис.25.

Рис.25

Решение

Из чертежа видно, что точка М₁ имеет координаты x₁ = 3, y₁ =2, т.е. М₁(3; 2) и точка М₂(10; 5), тогда вектор  имеет координаты

,

или, окончательно

Ответ

Свободные векторы

Свободный вектор – вектор, который вполне определен своими координатами: он не привязан ни к какой точке пространства и при параллельном переносе (с сохранением направления и длины) его координаты не изменяются. Если вектор задан в координатной форме, то никто не скажет, где он расположен.