Пример 19 (о нахождении уравнения гиперболы)

Эксцентриситет гиперболы равен . Найти каноническое уравнение гиперболы, если точка  гиперболе принадлежит.

Решение

Прежде всего, что ищем конкретно? – Ищем значения a и b в каноническом уравнении гиперболы. Неизвестных величин две, следовательно, и уравнений для их нахождения должно быть два.

Первое уравнение получим из того факта, что нам известен эксцентриситет гиперболы и известна связь между полуосями и координатами фокуса гиперболы:

.

Это первое равенство, а второе получим, используя тот факт, что точка М гиперболе принадлежит, т.е., ее координаты обращают каноническое уравнение гиперболы в тождество:

и, окончательно, получаем

Ответ

Искомая гипербола описывается каноническим уравнением

x² - y² = 1.

Пример 20 (прямая и гипербола)

Через точку М(0; - 1) и правую вершину гиперболы

3∙x² - 4∙y² = 12

проведена прямая. Найти вторую точку пересечения прямой с гиперболой.

Решение

 Задачу будем решать в два шага:

- найдем уравнение прямой;

- найдем координату точки пересечения прямой и гиперболы.

Шаг 1

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку М(0; - 1) и правую вершину гиперболы необходимо знать координаты правой вершины гиперболы. Найдем вторую точку из уравнения гиперболы, приведя данное уравнение к каноническому виду, зная при этом, что в каноническом уравнении важно все: равно выражение именно единице, а в самом выражении – значения действительной и мнимой полуоси – это знаменатели дробей, в которых числители x² и y².

Откуда в уравнении гиперболы a = 2, b = , или координаты правой вершины М₂(2; 0). А вот теперь ищем уравнение прямой, проходящей через две данные точки М и М₂

Шаг 2

Ищем координаты точек пересечения найденной прямой и данной гиперболы. Эти координаты удовлетворяют обоим уравнениям, т.е. являются решением системы уравнений

Решаем полученное уравнение и находим, что x₁ = - 4, x₂ = 2.

Подставляем найденные x₁ и x₂ во второе уравнение системы и находим координаты точек пересечения прямой с гиперболой N₁(- 4; -3) и N₂(2; 0).

Не трудно убедиться (проверьте самостоятельно) что точка М гиперболе не принадлежит, а значит, точек пересечения будет две.

Ответ

Точки пересечения прямой и гиперболы - N₁(- 4; -3) и N₂(2; 0).

ВЕКТОРЫ

Представление о векторах как о направленном отрезке на много менее эффективно и продуктивно, чем алгебраическая интерпретация векторов.

Алгебраическая интерпретация векторов

Упорядоченный одномерный упорядоченый массив из n чисел x₁, x₂, x₃…x_n называется n-мерным вектором, сами числа x₁, x₂, x₃…x_n при этом называются координатами вектора.