Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния между фокусами к длине его большой полуоси

Определение не вполне наглядное и информативное, куда как более наглядным оно становится при использовании связи между полуосями и координатами фокусов:

Тогда

откуда получаем другую форму вычисления эксцентриситета

Откуда сразу же видно, что при равенстве большой и малой полуосей (a = b – при превращении эллипса в окружность) эксцентриситет равен нулю. Т.е. окружность – это эллипс с нулевым эксцентриситетом!!!

Или – эксцентриситет показывает степень «сплюснутости» эллипса: чем больше он отличается нуля, тем более он сплюснут!

Связь между фокальными радиусами и эксцентриситетом эллипса

r₁ + r₂ = 2∙a

r₁ = a + ε∙x

r₂ = a - ε∙x.

Пример 18 (получение уравнения эллипса)

 Получить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки

Решение

В данном случае «получить каноническое уравнение эллипса» - значит, найти конкретные значения a и b (большой и малой полуосей). Радует то, что точек у нас две и неизвестных то же две, т.е. может быть получена система алгебраических уравнений: подставляем координаты первой точки в одно уравнение эллипса, а второй точки – во второе

Т.о., искомое каноническое уравнение эллипса

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная. Причем указанная разность берется по абсолютному значению и необходимо, что бы она была меньше расстояния между фокусами и не равна нулю. (См. Рис.23)

Рис.23

На рисунке:

-  - левый фокальный радиус;

- - правый фокальный радиус;

- (- с; 0) – координаты левого фокуса (точки F₁);

- (с; 0) - координаты правого фокуса (точки F₂);

-  - действительная полуось гиперболы;

-  - мнимая полуось гиперболы;

- точка (а; 0) – правая вершина гиперболы;

- точка (- а; 0) – левая вершина гиперболы;

- прямые  - асимптоты гиперболы.

Названия полуосей не случайны: точки  гиперболе принадлежат, а точки - гиперболе не принадлежат (потому и ось – мнимая), но мнимая полуось, хотя и не является частью гиперболы, вполне определяет ее форму, поскольку именно между асимптотами гиперболы и располагаются ветви ее.

Каноническое уравнение гиперболы

(смотри замечание о каноничности уравнения).

Связь между полуосями и координатами фокусов гиперболы

При этом важным является выражение, связывающее действительную, мнимую полуось и координату фокуса (сравните с формой аналогичной связи для параметров эллипса)

.

Эксцентриситет гиперболы