Векторные произведения ортов

При нахождении векторных произведений ортов в ПДСК полезным окажется рисунок 29

Рис.29

Векторное произведение в координатной форме

Пусть векторы заданы в координатной форме

Тогда

Вычисляя последний определитель методом разложения по элементам первой строки, получаем, что

Пример 28 (площадь треугольника)

Вычислить площадь треугольника, заданного своими вершинами А(2; 2; 2), В(4; 0; 3) и С(0; 1; 0).

Решение

Идея решения основана на том, что площадь треугольника АВС – это половина площади параллелограмма, а площадь параллелограмма со сторонами АВ и АС – модуль векторного произведения векторов АВ и АС. Коль скоро так, решение ищем в три шага

- находим векторы АВ и АС;

- находим векторное произведение найденных векторов;

- находим длину найденного вектора;

- половина найденной длины – искомая площадь.

Шаг 1

«Найти вектор» - это значит найти его координаты:

вектор АВ

Шаг 2

Векторное произведение векторов АВ и АС

При нахождении площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, используем тот факт, что наши векторы – свободные векторы, а потому мы всегда параллельным переносом сможем свести их к общему началу.

Шаг 3

Находим площадь параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, т.е. длину векторного произведения , т.е., длину вектора

Шаг 4

Искомая площадь равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС

Ответ

Площадь треугольника АВС равна

Смешанное произведение векторов

Правая тройка векторов

Правой тройкой векторов назовем тройку векторов, подчиняющуюся правилу буравчика, т.е., для трех векторов  имеют место равенства

Помочь запомнить это поможет рисунок 30

Рис.30

Т.е., вектор  умножаем векторно на вектор - получаем вектор и т.д.

Не трудно убедиться в том, что и векторы ортонормированного базиса в ПДСК образуют правую тройку векторов.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением векторов назовем число, определяемое выражением

Т.е., в одном произведении смешаны сразу два: векторное  и скалярное – вектор-результат векторного произведения умножается на вектор скалярно (вот почему в итоге получаем число).

Геометрическое свойство смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов  равно объему параллеле- пипеда, построенного на перемножаемых векторах, взятому со знаком «+», если эта тройка правая и со знаком « - », если эта тройка «левая» (не правая).

Условие компланарности векторов

Векторы компланарны (расположены в одной плоскости), если их смешанное произведение равно нулю: