Квадрики в евклидовом n – пространстве.

1.Пусть в евклидовом пространстве Е_n дана квадрика Q, определённая в некотором ортонормированном репере  уравнением:

                              (1)

    Совокупность старших членов  определяет квадратичную форму на пространстве переносов V. Мы можем перейти к такому ортонормированному базису , в котором квадратичная форма  имеет канонический вид:

,

Где r – ранг формы  - характеристические корни её матрицы . Следовательно, в репере  квадрика Q будет иметь уравнение:

.             (2)

Поступая далее, как и в случае квадрики в аффинном пространстве, мы получим те же канонические уравнения квадрик, но не получим (вообще говоря) их нормальных уравнений, так как необходимая для этого замена координатных векторов  при  здесь невозможна (векторы нового репера должны быть единичными) следовательно, в теории квадрик в евклидовом пространстве Е_n основную роль играют канонические уравнения этих квадрик.

    Пусть квадрика Q₁ определяется в ортонормированном репере R₁ каноническим уравнением:

f (x¹, x², …, xⁿ) = 0,                              (*)

а квадрика Q₂ имеет в ортонормированном репере R₂ каноническое уравнение:

g (x¹, x², …, xⁿ) = 0.                            (**)

    Легко видеть, что квадрики Q₁ и Q₂ конгруэнтны тогда и только тогда, когда существует такая подстановка букв x¹, x², …, xⁿ, которая переводит уравнение (*) в уравнение (**). Так на плоскости Е₂ гиперболы  конгруэнтны.

    2. Рассмотрим квадрики в трёхмерном евклидовом пространстве Е₃. В аффинном пространстве А₃ их существует 17 видов. Подходящим выбором ортонормированного репера в пространстве Е₃ мы приведём уравнение квадрики  к одному из этих 17 видов. В полученных уравнениях коэффициенты положительны. Положив

мы запишем эти уравнения так:

1)              (эллипсоид);

2)           (мнимый эллипсоид);

3)              (однополостный гиперболоид);

4)            (двуполостный гиперболоид);

5)              (точка);

6)              (конус с вершиной в точке О);

7)                     (эллиптический цилиндр);

8)                   (мнимый цилиндр);

9)                     (гиперболический цилиндр);

10)                  (прямая);

11)                  (пара пересекающихся плоскостей);

12)                          (пара параллельных плоскостей);

13)                        (пара мнимых параллельных плоскостей);

14)                          (пара совпавших плоскостей);

15)                (эллиптический параболоид);

16)                (гиперболический параболоид);

17)                       (параболический цилиндр).

 

Задачи.

№1.

В пространстве R₄ заданы две плоскости размерности два общими уравнениями:

                     

Выяснить их взаимное расположение?

Решение : Основная и расширенная матрицы системы , состоящей из всех четырёх уравнений, имеют вид:

Ранги этих матриц равны четырём, поэтому плоскости пересекаются в точке. Этой точкой будет начало координат.

 

№2.

Выяснить взаимное расположение прямой  и гиперплоскости  пространства :

.

 

Решение : Прямая  имеет направляющий вектор р{1, 2, 4, 0, -3}. Из теоремы *(Для того чтобы вектор р, заданный своими координатами {p₁, p₂, ..., p_n}, принадлежал плоскости, заданной общими уравнениями

необходимо и достаточно, чтобы координаты вектора  удовлетворяли соотношениям:

Þчто р Î W ₄,здесь W ₄ – подпространство плоскости  таким образом W_σ совпадает с W _4. Так как начальная точка прямой (0, 0, -1, -2, 2) не лежит в плоскости , то согласно следствию 2^о (Плоскости  и  пересекаются по некоторой плоскости , где к>s >0 (0<J<1).  и  не пересекаются. В силу условия р Î W ₄  они полностью параллельны.

 

№3.

В ортонормированном базисе q ₁ , q ₂ ,..., q_n  заданы векторы:

a{a₁, a₂, ..., a_n} и b {b₁, b₂,..., b_n}. Вычислить их скалярное произведение.

 

Решение : По определению координат векторов имеем:

a=a₁g₁+a₂g₂+...+a_ng_n

b=b₁g₁+b₂g₂+...+b_ng_n.

Используя распределительный закон скалярного произведения, а также принимая во внимание, что базис g ₁ ,..., g_n ортонормированный, получаем:

ab=(a₁g₁+a₂g₂+...+a_ng_n)(b₁g₁+b₂g₂+...+b_ng_n)=a₁b₁+a₂b₂+...+a_nb_n. Таким образом, мы пришли к следующей формуле:

ab = a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ +...+ a_nb_n. (1)

 

№4.

В ортонормированном базисе даны два ненулевых вектора a { a ₁ , a ₂ , ..., a_n } и b { b ₁ , b ₂ ,..., b_n }. Найти косинус угла образованного данными векторами.

 

Решение : Пользуясь формулами: ab = a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ +...+ a_nb_n и (2), выразим ab,  и  через координаты векторов  и . Подставив эти выражения в соотношение:  получим:  (3)

 

№5.

Пусть в ПДСК Оg_i даны две точки со своими координатами А(х₁,…, х _n) и В(у₁,…, у _n). Вычислить расстояние между этими точками.

 

Решение : По определению АВ= . Прежде всего, вычислим координаты вектора . Так как координаты точек А и В совпадают с координатами их радиус-векторов, то из соотношения  в силу теоремы ( ) получаем: . Теперь легко вычислить длину вектора  применяя формулу (2):  (4)

 

№6.

В ПДСК задана гиперплоскость  уравнением: a ₁ х₁+ a ₂ х₂+...+ a_n х _n +а_о=0 и точка М_о (х₀₁,х₀₂,…,х_{0 n} ). Вычислить расстояние d от точки М_о до .

 

Решение : Обозначим через N_j проекцию точки М_о на . Из теоремы *Þ a { a ₁ , a ₂ , ..., a_n } ортогонален каждому вектору гиперплоскости , поэтому он коллинеарен . Отсюда: , поэтому:

Записав это соотношение в координатах, и учитывая, что N₀ принадлежит плоскости , после элементарных преобразований, получили:

 (5)

 

№7

В системе координат  даны две точки М(х_i) и N(y_i). Найти координаты вектора .

 

Решение : По аксиоме треугольника . Отсюда получаем: . Векторы  и  являются радиус-векторами точек M и N, поэтому их координаты нам известны: . Вектор  имеет координаты: (у₁-х₁, у₂-х₂, …, у_n-x_n).

 

№8.

Написать уравнения 2-плоскости  пространства А₄, проходящей через точку М_о(0, 1, -2, 5) и имеющей направляющее подпространство L₂, заданное системой уравнений

 

Решение : Уравнения:

в данном случае принимают вид:

Подставив значения координат точки М_о, после элементарных преобразований получим:

 

№9.

Написать параметрические уравнения прямой d, проходящей через точку

М_о(1, 3, 0, 0, ) и параллельно вектору  в пространстве А₅.

 

Решение : Вектор  является базисом направляющего подпространства прямой a, поэтому уравнения в данном случае имеют вид:

 

№10.

В каждом из следующих случаев выяснить взаимное расположение двух гиперплоскостей, заданных в А₄ уравнениями:

     

 

Решение : а) В данном случае  и , поэтому гиперплоскости пересекаются по двумерной плоскости, которая задаётся уравнениями:

 

б) Вычислением находим, что  и , поэтому гиперплоскости параллельны.

 

№11.

Вычислить координаты ортогональной проекции М₁ точки М на гиперплоскость :

1) М(1, 1, 1, -1), :

2) М(0, -1, 2, 1), : .

 

Решение : М₁ проекция точки М на гиперплоскости . Из теоремы Þ а{ a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ } ортогонален каждому вектору гиперплоскости , поэтому он коллинеарен вектору :  расстояние . Записав это соотношение в координатах и учитывая, что М₁Î  после элементарных преобразований, получим:

 

Заключение.

В течение весьма продолжительного времени и математики и физики были убеждены, что геометрия Евклида дает единственно правильное описание свойств реального пространства. Первым выступил с сообщением в печати об открытии новой – неевклидовой геометрии Н.И.Лобачевский.

Начиная со второй половины XIX столетия, исследования крупнейших учёных того времени показали, что неевклидова геометрия является системой логически столь же безупречной и внутренне непротиворечивой, как и система Евклида.

Евклидова геометрия возникла как отражение фактов действительности. Геометрия n- мерного евклидова пространства можно рассматривать в качестве примера абстрактной геометрической теории. Она строится путём простого обобщения основных положений обычной геометрии.

Применение евклидовой геометрии представляет самое обычное явление всюду, где определяются площади, объемы. Вся техника, поскольку в ней играют роль формы и размеры тел, пользуется евклидовой геометрией. Картография, геодезия, астрономия, все графические методы, механика немыслимы без геометрии. Глубокое применение евклидовой геометрии представляет геометрическая кристаллография, послужившая источником и областью приложения теории правильных систем фигур.

 

Литература

 

1) Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. «Геометрия» ч.1. М. Просвещение, 1973г.

 

2) Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. «Геометрия» ч.2. М. Просвещение, 1976г.

 

3) Атанасян Л.С., Базылев В.Т. «Геометрия» ч.1. М. Просвещение, 1986г.

 

4) Атанасян Л.С., Базылев В.Т. «Геометрия» ч.2. М. Просвещение, 1987г.

 

5) Атанасян Л.С., Атанасян В.А. «Сборник задач по геометрии» ч.1. М.                                                                                                                                                  Просвещение, 1973г.

 

6) Атанасян Л.С. «Сборник задач по геометрии» ч.2. М. Просвещение, 1975г.

 

7) Базылев В.Т. «Сборник задач по геометрии», М. Просвещение, 1980г.

 

8) Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», М. 1962г.

 

9) Строик Д.Я. «Краткий очерк истории математики», М. Просвещение, 1975г.

 

10) Фетисов Л.И. «Очерки по евклидовой и неевклидовой геометрии», М. Просвещение, 1965г.

 

11) Математический энциклопедический словарь, М. Советская энциклопедия, 1988г.