Взаимное расположение k -плоскостей.

Каждая точка является нульмерной плоскостью. Это соответствует общему определению плоскости, так как в данном случае можно считать, что подпространством плоскости является нульмерное подпространство.

Пусть и – две плоскости, имеющие хотя бы одну общую точку . Если подпространство принадлежит одновременно подпространствам и данных плоскостей, то принадлежит плоскостям и . В самом деле, пусть . Это означает, что вектор принадлежит . Так как , то , т.е. . Аналогично доказывается, что .

Пересечением двух плоскостей и называется множество всех точек, принадлежащих одновременно плоскостям и . Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку , то пересечением этих плоскостей является некоторая плоскость , где   ( –наименьшее из чисел k и m).

Пусть – пересечение подпространств данных плоскостей и . Очевидно, S заключено в пределах: . Плоскость согласно предыдущему принадлежит как и .

Обратно, любая общая точка и любой общий вектор плоскостей и , очевидно, принадлежит этой плоскости. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1: Если плоскости и  имеют по крайней мере одну общую точку , то эти плоскости имеют общую плоскость , определяемую точкой и подпространством , где .

Эта теорема, очевидно, справедлива также при S=0. В этом случае пересечением плоскостей будет одна точка.

Следствие: Имеет место неравенство

Пусть  и две плоскости, где и . Подпространство называется подпространством параллельности этих плоскостей. Число называется степенью параллельности данных плоскостей. Очевидно, . Если плоскости не имеют ни одной общей точки и s=k, т.е. если , то плоскости называются полностью параллельными. Если же плоскости не имеют ни одной общей точки и , то скрещивающимися.

Из предыдущих определений следует, что возможны следующие случаи взаимного расположения двух плоскостей и  ( ).

1º. Плоскости и имеют единственную общую точку ( ).

2º. Плоскости и пересекаются по некоторой плоскости , где k>s>0 (0<I<1).

3º. Плоскость принадлежит плоскости ( ).

4º. Плоскости и частично параллельны, т.е. не имеют общих точек и 0<I<1.

5º. Плоскости и полностью параллельны, т.е. не имеют общих точек и I=1.

6º. Плоскости и скрещиваются, т.е. не имеют общих точек и I=0.

Следствие: При имеет место неравенство .

В трехмерном аффинном пространстве для данной пары плоскостей все шесть случаев не могут иметь места. Так, для прямой  и двумерной плоскости  имеют место только случаи 1,3,5; для двух прямых и - случаи 1,3,5,6; для двух двумерных плоскостей и -2,3,5.

а) Критерий пересечения двух плоскостей, заданных общими уравнениями.

Пусть в системе плоскости и заданы общими уравнениями:

                          (1)

Рассмотрим систему , состоящую из всех векторов ( ) уравнений систем(1). Плоскости  и пересекаются тогда и только тогда, когда система совместна, т.е. когда r=R, где r и R ранги основной и расширенной матриц этой системы. В этом случае уравнения системы являются уравнениями плоскости пересечения плоскостей и ; размерность этой плоскости равна n-r.

Теорема2: Пусть в системе плоскости и заданы системами уравнений (1). Если - система уравнений, состоящая из всех уравнений двух систем (1), а r и R – ранги основной и расширенной матриц этой системы, то плоскости и пересекаются тогда и только тогда, когда r=R. В этом случае размерность плоскости пересечения равна n-r.