Аналитическое задание k-плоскости.

Из теоремы 1 следует, что плоскость однозначно определяется заданием точки и k линейно независимых векторов , параллельных этой плоскости. Если в пространстве выбрана система координат, то точка и векторы будут иметь координаты:                         Пусть – произвольная точка плоскости тогда и только тогда, когда вектор принадлежит подпространству этой плоскости, т.е. Запишем это условие в координатах. Вектор имеет координаты: поэтому

      (1)                          

Эти соотношения называются параметрическими уравнениями k-плоскости.

Их смысл заключается в следующем: если точка принадлежит плоскости, то всегда найдутся такие параметры , что, подставив эти параметры в соотношение (1), получим координаты точки . Обратно, каковы бы ни были параметры , подставив их в соотношения (1), получаются координаты некоторой точки плоскости. Так как векторы линейно независимы, то матрица, составленная из коэффициентов при в соотношениях (1) имеет ранг k. Если определитель, составленный из коэффициентов первых k равенств, не равен нулю, т.е.

то из равенств (1) можно однозначно определить параметры . Подставив их значения в оставшиеся соотношений, получаются , получаются независимых линейных уравнений, связывающих координаты точки . Эти соотношения могут быть записаны в следующем виде:

Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда координаты её удовлетворяют соотношениям (3). Они называются уравнениями плоскости . Итак, каждая k-плоскость в  пространстве может быть определена системой независимых линейных уравнений. В частности, гиперплоскость определяется одним уравнением:

3. Общие уравнения плоскости.

Теорема 3: Пусть

– совместная независимых линейных уравнений. Если в пространстве выбрана система координат , то множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют этой системе, есть некоторая k-плоскость.

Доказательство: Так как данная система (4) совместна и линейно независима, то матрица, составленная из коэффициентов при , имеет ранг .Пусть определитель, составленный из коэффициентов при ,отличен от нуля. Решив данную систему относительно этих переменных, получается:

Вводя обозначения , получаем соотношения:

(5)

 Рассмотрим плоскость , начальной точкой которой является точка , содержащую векторы , координаты которых определяются соответственно коэффициентами при в соотношениях (5). Эта плоскость согласно соотношению (1) имеет параметрические уравнения (5). Из алгебраических преобразований, следует, что координаты точек этой плоскости удовлетворяют системе (4). Соотношения (4) называются общими уравнениями k-плоскости.