N -мерное евклидово пространство.

Пусть V - n-мерное векторное пространство над полем R вещественных чисел. Билинейной формой, определенной на векторном пространстве V, называется отображение

 g: ,

линейное по каждому  аргументу, т.е. удовлетворяющее условию:

                и

               ,

                и .

Пусть на векторном пространстве V задана билинейная форма g. Возьмем в V какой-либо базис { } (  Для V имеем :  и, значит, g(
Обозначим  через . Тогда 

                       g(
Квадратная матрица  называется матрицей билинейной формы g в базисе . Таким образом, чтобы задать билинейную форму g: V достаточно в пространстве V задать базис  и взять какую-либо квадратную матрицу G c элементами Тогда значение билинейной формы для вычисляется по формуле (*).Билинейная форма называется симметрической, если  для .

Билинейная форма g на векторном пространстве V называется вырожденной, если .

Если же такого вектора  не существует, то форма g называется невырожденной.

По формуле ( ) для вырожденной формы имеем:  (1)
для  Но (1) есть многочлен 1-й степени относительно ,
и он равен нулю при любых значениях переменных . Значит, все его
коэффициенты равны нулю: .

Это есть система линейных однородных уравнений с n неизвестными. Такая система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда т.е. матрица G вырожденная. Отсюда следует, что билинейная форма g ,будет невырожденной тогда и только тогда, когда её матрица G невырожденная
Векторное пространство V над полем R называется евклидовым векторным пространством, если на нем задана положительная билинейная форма g.
Употребляют такие названия:

Число  - скалярное произведение векторов  и (его обозначают
через , или  - скалярный квадрат вектора ;  - неотрицательное число - норма или длина вектора .

 Векторы  и  называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: =0. Вектор  называется ортом (или единичным ), если =1. Если ,то вектор =  является ортом. Базис { } евклидова векторного пространства V называется ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональные:

 

 

Расстояние между двумя точками.

Угол между векторами.

1. Расстоянием ρ (А, В) между точками А, В  Е_n называется длина вектора :

ρ (А, В) = .                       (1)

Возьмём в Е_n ортонормированную систему координат или ортонормированный репер, т. е. такой аффинный репер R = , координатные векторы  которого образуют ортонормированный базис пространства переносов V.

Так как теперь  ·  = 1,  ·  = 0 (i ≠ j ) и, значит, g_ij = 1, g_ij = 0

(i ≠ j), то для любого вектора  получим:

и, следовательно,

          (2)

Так выражается длина вектора через его координаты в ортонормированном базисе.

Пусть А и В даны своими координатами в ортонормированном репере:

. Тогда

.                           (3)

(1), (2), (3)

Так вычисляется расстояние между двумя точками в ортонормированной системе координат.

Теорема. Расстояние между двумя точками в пространстве Е _n удовлетворяет неравенству треугольника

Это значит, что

                         (4)

 

▲Как известно, . Пусть  - ортонормированный базис и  Тогда  Нам надо доказать, как это следует из (4), что . Здесь каждая из сумм положительна. После возведения обеих частей неравенства в квадрат, получим:

(неравенство Коши – Буняковского). Таким образом, доказательство неравенства (4) сводится к доказательству неравенству Коши – Буняковского. Докажем последнее. Ясно, что

.

Следовательно, квадратный трёхчлен, стоящий слева, принимает только неотрицательное значения, поэтому его дискриминант

,          (#)

откуда и следует неравенство Коши – Буняковского. ▲

        

Лемма. (теорема Пифагора в Е_n)

 

 

▲

                             ▲           (*)

Следствие. (*)

Итак,

Теорема. Если три точки А, В и С различны, то неравенство в формуле (4) имеет место тогда и только тогда, когда точка В лежит между А и

▲ А. Пусть точка В лежит между А и С,  

 

т. е.  Тогда (в обозначениях предыдущей теоремы)

Вычислим левую часть формулы (#):

Значит, в этом случае в формуле (4) имеем знак равенства.

    Б. Пусть точка В не лежит на прямой (АС):

 

 

Найдём на прямой (АС) точку D (  (такая точка называется ортогональной проекцией точки В на прямую (АС)). Ищем , т. е.

и точка D определена. По следствию из леммы:

 

Отсюда следует, что если точка В не лежит на прямой (АС), то сумма расстояний  не может быть наименьшей. Значит, равенство в формуле (4) возможно только в случае, когда точка В лежит на прямой (АС). Пусть точка В лежит на прямой (АС) и отлична от точек А и С. Тогда  Возможны три случая: 1)  (точка В лежит между А и С); 2) ; 3) .

    Докажем, что если

                               (4^')    

то случаи 2 и 3 не могут иметь места.

    В случае 2:

                                       (5)

    Но

(5) , и так как , то

    Следовательно, точка А лежит между В и С и по доказанному в п⁰ А:

С

А

 

B

 

 

что противоречит условию (4^').

    В случае 3: , где , и, значит, точка С лежит между А и В. По доказанному в п⁰ А:

B

С

 

А

 

что противоречит условию (4^').

Итак, если имеет место равенство (4^'), то точка В лежит между А и С. ▲

        

Следствие. Из трёх различных точек А, В и С одной прямой всегда одна и только одна лежит между двумя другими.

     2. Возьмём ненулевые векторы  и какую-либо точку О. По первой аксиоме Вейля .

Выпуклый угол АОВ называется углом между данными векторами . Пусть  - орты векторов  соответственно. Тогда

Найдём вектор , такой, чтобы вектор  был ортогонален вектору :

Так как в пространстве Е _n скалярный квадрат любого вектора неотрицателен, то

Следовательно, в числовом промежутке  существует число α, такое, что . Это число α называется величиной угла между векторами  и обозначается обычно через . Учитывая, что

,

находим

             (**)

     Пример. В евклидовом пространстве Е₄ дан треугольник АВС с координатами вершин А (1, -1, 2, 3), В (0, 1, -1, 1), С(2, 0, 1, -2) в ортонормированном репере. Вычислить внутренний угол треугольника при вершине А.

     Находим:

а) ;

б) и по формуле (**)