Преобразование подобия. Группа подобий.

Подобием пространства  называется преобразование f этого пространства, обладающее следующим свойством: существует число k

(коэффициент подобия), такое, что

(f (Α), f (Β))=

Движение является частным случаем подобия ( =1). Другим частным случаем подобия является гомотетия.

Пусть даны точка S и число R, . Гомотетией с центром S и коэффициентом  называется отображение g:  по закону

g(Μ)=Μ´ = .

Отсюда следует, что g(S)=S (S-неподвижная точка), и если Μ , то точка Μ´ лежит на прямой (SΜ). Возьмем произвольные точки Μ и Ν и пусть

Μ´= g(Μ), Ν´= g(Ν).

Тогда = , = = .        (1)

Возьмем еще одну точку L на прямой ( MN). Для точки L ´=f( L ) имеем: =       (2)

Пусть точки M и N различны. Тогда = ,     (3)

(1),(2) = .        (4)

(3),(4) гомотетия сохраняет отношение трех точек прямой.Поэтому в гомотетии отрезок переходит в отрезок, луч – в луч, прямая – в прямую, полуплоскость – в полуплоскость. Если - направляющий вектор прямой a, то - направляющий вектор прямой a ´= f ( a ) .

(1) a ´ a .

Следовательно, гомотетия  переводит прямую в параллельную ей прямую. В гомотетии угол переходит в конгруэнтный ему угол. Это утверждение очевидно, если стороны угла лежат на одной прямой. Рассмотрим угол АОВ, стороны которого не лежат на одной прямой. Обозначим через Π плоскость, в которой лежит этот угол. В гомотетии g плоскость Π перейдет в плоскость Π´ Π, луч  Π перейдет в луч , а луч -в луч .

Если угол АОВ выпуклый, то он является пересечением полуплоскостей

 и :

                               = .

В гомотетии g эти полуплоскости перейдут соответственно в полуплоскости  и  и, значит, угол АОВ перейдет в угол

                               = . 

Соответствующие стороны углов АОВ и А´О´В´ одинаково направлены при и противоположно направлены при При параллельном переносе пространства на вектор  эти углы совпадают в первом случае и окажутся вертикальными во втором случае. Следовательно, эти углы конгруэнтны.

Так как g( Π )= Π ´ и g = , то угол 1, дополняющий выпуклый угол АОВ до полного угла ,переходит в гомотетии g в угол 1´, дополняющий выпуклый угол Α´О´Β´ до полного угла:  

              .

Значит, и невыпуклый угол гомотетия переводит в конгруэнтный ему угол. Учитывая равенство (1), находим:

| =| | ,

Следовательно, гомотетия является подобием. Гомотетия с центром S и коэффициентом h =-1 является центральной симметрией (относительно точки S).

Теорема. Всякое подобие является произведением гомотетии и движения.

Пусть f –подобие с коэффициентом Возьмем какую-либо точку S и пусть g- гомотетия с центром S и коэффициентом . Если M , N -произвольные точки пространства и Μ´=f(Μ), Ν´=f(Ν), то | = |       (5)

Пусть g(Μ)=Μ´´, g ( Ν )=Ν´´. Тогда 

                  | = |  ( (6)
                  (5) ,(6)  | =| .           (7)

Преобразование d = f  переводит каждую точку Μ´´ в такую точку Μ´, что имеет место равенство (7), т.е. преобразование d сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Следовательно, d = f  –движение. Отсюда f=d  теорема доказана.

Следствия. 1) В подобии сохраняется отношение трех точек; следовательно, отрезок переходит в отрезок, луч в луч;

2) в подобии угол переходит в конгруэнтный ему угол;

3) в подобии – плоскость переходит в -плоскость.

Пусть дано подобие с коэффициентом  Возьмем какой-либо ортонормированный репер R={О, }. По доказанному j =d , где g- гомотетия с центром О и коэффициентом k , а d-движение. Произвольная точка Μ( ) перейдет в гомотетии g в такую точку Μ´´( ) , что  Следовательно,

                                          (8) 

Движение d переводит точку Μ´´ в точку Μ´=d(Μ´´)=f(Μ). Если - координата точки Μ´´, то, как известно,

                                   (9),

где || || - ортогональная матрица. 

(8),(9)   (10)

Так выражаются в ортонормированном репере R координаты точки Μ´=f(Μ) через координаты точки Μ в подобии f.