Структурное представление моделей

Представление математических моделей систем в виде структурных схем, описы­ваемых в терминах передаточных функций, является традиционным подходом, при­меняемым при исследовании и проектировании систем управления. Используя поня­тие стохастического матричного оператора, можно распространить такой подход на стохастические системы управления, обеспечив наглядную форму представления проекционной модели. Рассмотрим метод анализа систем управления со случайными параметрами, основанный на использовании стохастических матричных операторов и структурного представления проекционной модели системы.

Этот метод особенно удобен для построения проекционных моделей сложных систем управления. В каче­стве исходного описания системы используются модели ее отдельных элементов в виде дифференциальных уравнений n -го порядка со случайными коэффициентами. Последовательность действий при построении модели системы следующая:

 

1. Определяются выражения для спектральных характеристик (СХ) всех элемен­тов системы и строится структурная схема системы в спектральной области. Такая схема внешне отличается от обычной структурной схемы только тем, что вместо пе­редаточных функций ее элементов используются выражения для их СХ.

Выражения для СХ отдельных элементов определяются стандартными методами проекционной аппроксимации их моделей (заданных в виде линейных дифференциальных уравне­ний, в том числе со случайными коэффициентами) с использованием матричных опе­раторов интегрирования и умножения [66] и представляют собой матричные форму­лы. В качестве ортогонального базиса используются функции Уолша. Выражения для СХ элементов, имеющих случайные параметры, содержат случайные коэффициенты в виде случайных чисел или случайных матриц операторов умножения.

2. Определяется выражение для СХ всей системы, которое получается как резуль­тат преобразования («свертывания») полученной на предыдущем этапе структурной схемы, построенной по проекционным моделям (спектральным характеристикам) отдельных элементов, охваченных прямыми и обратными связями.

Используемые при этом правила структурных преобразований во многом похожи на те же правила для передаточных функций с учетом специфики нестационарных систем. Если структурная схема содержит перекрестные связи, то СХ системы может быть получена путем записи выражений для СХ выходных сигналов всех ее отдельных элементов и последовательного исключения переменных (векторов СХ выходных сигналов элементов схемы) из этих выражений. В результате получается выражение, связывающее только СХ входа и выхода.

3. Выражение для СХ всей системы, полученное на предыдущем этапе, содержит обратные матрицы вида , где -случайная матрица. Чтобы избежать проблемы осреднения обратной матрицы применяется описанный выше прием раз­ложения обратной матрицы в матричный ряд, с предварительным представлением матрицы в виде где -ее математическое ожидание; -случайная составляющая:

(формула 1.192)

где

Матрица  представляет собой матричный оператор умножения на случайную функцию времени, соответствующую случайному параметру одного из элементов структурной схемы. Если этот параметр является случайной величиной а_сл, то A _сл = а_сл • I, где I — единичная матрица. Если же он является случайной функцией времени, то применяется следующее разложение, представляющее собой спектраль­ный аналог канонического разложения случайной функции:

(формула 1.193)

где  - гауссовы случайные величины с единичной дисперсией и нулевым сред­ним значением;  -матрицы операторов умножения на неслучайные координат­ные функции .

Таким образом, выше изложена процедура преобразования исходного выражения для СХ всей системы, полученного на втором этапе, к виду, удобному для дальней­ших вычислений, т. е. это выражение теперь не содержит случайных матриц и пред­ставляет собой сумму произведений неслучайных матриц на случайные числа и в таком виде легко поддается осреднению.

Анализ систем, параметры которых являются

случайными величинами

Зависимость между спектральными характеристиками входа и выхода системы, описываемой моделью (1.178), имеет вид

(формула 1.194)

где стохастический матричный оператор определяется выражением (1.179).

Определим математическое ожидание выходного сигнала системы. Осреднив (1.194) по множеству реализаций, получим соотношение

(формула 1.195)

согласно которому спектральная характеристика математического ожидания выход­ного сигнала  определяется как линейное преобразование спектральной характе­ристики математического ожидания входного сигнала  детерминированным мат­ричным оператором  , который представляет собой математическое ожидание случайной матрицы стохастического матричного оператора A.

Определим матричный оператор  как

(формула 1.196)

Вводя обозначение

(формула 1.197)

запишем выражение для v -го приближения матричного оператора А_ср

(формула 1.198)

при этом нулевое приближение определяется следующим образом:

(формула 1.199)

 

 

выражения для моментов (1.197) могут быть раскрыты для каждого V например

где буквами m и D с индексами обозначены соответственно математические ожидания и взаимные корреляционные моменты соответствующих индексов.

Стохастические моменты выше второго порядка, например появляющиеся в вы­ражении для M _.2 моменты третьего порядка, для нормально распределенных a_i, b_. можно разложить на моменты первого и второго порядка, пользуясь известными со­отношениями [97].

На практике редко приходится учитывать статистическую связь между случайными коэффициентами исходного дифференциального уравнения (1.178), поэтому вместо совместных моментов для коэффициентов a_i и b _. можно с целью упрощения рассматривать произведения их моментов. При этом для нормально распределенных ко­эффициентов достаточно выражать эти моменты через моменты первого и второго по­рядков, т.е. через математические ожидания и дисперсии. Если закон распределения слу­чайных коэффициентов отличен от нормального, то задания первых двух моментов уже недостаточно — здесь целесообразно использовать другие числовые характеристи­ки вероятностных распределений, к которым относятся кумулянты [73]. Это позволяет ограничиться конечным числом кумулянтов, поскольку в отличие от моментов, зна­чимость которых с ростом их порядка не убывает, кумулянты обладают свойством уменьшения значимости с увеличением порядка. Для нормального (гауссова) закона распределения вероятности все кумулянты выше второго порядка равны нулю. При этом кумулянт первого порядка равен первому начальному моменту — математическому ожи­данию, а кумулянт второго порядка равен второму центральному моменту — дисперсии.

Связь между начальными моментами и коммулянтами порядка r  скалярной случайной величины определяеться следующим тождеством

(формула 1.200)

Разлагая экспоненту в правой части (1.200) в ряд получим

перемножая члены этого ряда и сравнивая члены полученного в результате ряда с членами при тех же степенях  ряда в левой части (1.200), можно получить форму­лы, связывающие начальные моменты и кумулянты. Например, для начального мо­мента четвертого порядка имеем

Для нормально распределенной случайной величины ее стохастические моменты порядка r всегда могут быть выражены через моменты первого и второго порядков согласно соотношению

(формула 1.201)

из которого, сравнивая члены при одинаковых степенях  в его правой и левой час­ти, можно получить соответствующие формулы.

Например,

где m_a, D_a — соответственно математическое ожидание и дисперсия случайной ве­личины a. Таким образом, математическое ожидание выходного сигнала системы

может быть вычислено с требуемой точностью, определяемой номером используемо­го приближения матричного оператора А_ср и числом удерживаемых членов разло­жения по ортогональному базису p.

Для определения корреляционной функции выходного сигнала воспользуемся соотношением

(формула 1.202)

где спектральная характеристика второго начального момента определяется так: